# Intégrale de sec x (1/cos x) : formule, démonstration et exemples

> L'intégrale de sec x = 1/cos x vaut ln|sec x + tan x| + C. L'astuce de la multiplication par un, les formes équivalentes, la vérification et des exemples.

Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-de-sec-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int \sec x\,dx = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C $$

## En bref

- **Primitive:** $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$
- **Méthode:** Multiplier par $\dfrac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}$
- **Forme équivalente:** $\dfrac{1}{2}\ln\left\lvert\dfrac{1 + \sin x}{1 - \sin x}\right\rvert + C$
- **Autre forme:** $\ln\left\lvert\tan\left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{4}\right)\right\rvert + C$
- **De 0 à π/4:** $\ln\left(1 + \sqrt{2}\right) \approx 0.881$

## À retenir

- L'intégrale de $\sec x$ est $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$.
- L'astuce consiste à multiplier par $\frac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}$, ce qui fait du numérateur la dérivée du dénominateur.
- D'autres manuels l'écrivent $\frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}\right\rvert$ ou $\ln\left\lvert\tan\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\right\rvert$. Toutes ces formes sont égales.
- Ce n'est pas $\sec x\tan x$. C'est la dérivée de $\sec x$.

L'**intégrale de $\sec x$ est $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$**. Ici sec désigne la sécante, c'est-à-dire 1/cos x : c'est donc aussi la primitive de 1/cos x. Elle est célèbre parce que sa démonstration habituelle repose sur une astuce que personne ne devinerait au premier abord, et elle réapparaît dans des intégrales plus difficiles comme $\int\sec^3 x\,dx$.

$$\int \sec x\,dx = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$$

## Graphique de sec x et de l'aire sous la courbe

```graph
title: 'Aire sous y = sec x de 0 à π/4, avec la primitive y = ln|sec x + tan x|'
caption: 'L''aire hachurée vaut $\ln(1 + \sqrt{2}) \approx 0.881$. La primitive en pointillés passe par l''origine et est toujours croissante, car $\sec x > 0$ sur $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$.'
x: [-1.6, 1.6]
y: [-3, 4]
functions:
  - expr: sec(x)
    label: y = sec x
    domain: [-1.3, 1.3]
  - expr: ln(abs(sec(x) + tan(x)))
    label: y = ln|sec x + tan x| (primitive)
    dashed: true
    domain: [-1.5, 1.5]
shade: {expr: sec(x), from: 0, to: 0.7854}
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
```

## Démonstration pas à pas

1. Multiplier par une forme astucieuse de $1$ :
$$\int\sec x\,dx = \int\sec x\cdot\frac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}\,dx = \int\frac{\sec^2 x + \sec x\tan x}{\sec x + \tan x}\,dx$$
2. Regarder le dénominateur $u = \sec x + \tan x$. Sa dérivée est $\sec x\tan x + \sec^2 x$, c'est-à-dire exactement le numérateur.
3. Donc $du = (\sec^2 x + \sec x\tan x)\,dx$ et l'intégrale devient $\int\frac{du}{u}$.
4. Intégrer : $\ln\lvert u\rvert + C = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$.

L'étape 2 utilise la [dérivée de sec x](/derivatives/sec-x) et la [dérivée de tan x](/derivatives/tan-x). L'étape 4 utilise l'[intégrale de 1/x](/integrals/1-over-x).

## Vérification par dérivation

$$\frac{d}{dx}\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert = \frac{\sec x\tan x + \sec^2 x}{\sec x + \tan x} = \frac{\sec x(\tan x + \sec x)}{\sec x + \tan x} = \sec x \checkmark$$

## Formes équivalentes

Vous pouvez rencontrer d'autres réponses dans les tables ou dans les logiciels. Ce sont toutes la même fonction.

Comme $\sec x + \tan x = \frac{1 + \sin x}{\cos x}$, en élevant au carré on obtient

$$(\sec x + \tan x)^2 = \frac{(1 + \sin x)^2}{1 - \sin^2 x} = \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}$$

Donc $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}\right\rvert$. Une formule de l'angle moitié donne aussi $\ln\left\lvert\tan\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\right\rvert$. Cette dernière forme est celle qu'utilise la projection de Mercator pour espacer les parallèles sur les cartes, et c'est ainsi que cette intégrale a été découverte.

## Intégrales définies

$$\int_0^{\pi/4}\sec x\,dx = \ln\left(\sqrt{2} + 1\right) \approx 0.881$$

$$\int_0^{\pi/3}\sec x\,dx = \ln\left(2 + \sqrt{3}\right) \approx 1.317$$

Comme $\sec x$ est paire, $\int_{-a}^{a}\sec x\,dx = 2\ln(\sec a + \tan a)$ pour $0 < a < \frac{\pi}{2}$.

## Variantes par changement de variable

$$\int\sec(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\ln\lvert\sec(ax + b) + \tan(ax + b)\rvert + C$$

Par exemple, $\int\sec(2x)\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert\sec 2x + \tan 2x\rvert + C$.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : réécrire d'abord.** $\int\frac{1}{\cos x}\,dx$ n'est autre que $\int\sec x\,dx = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$.

**Exemple 2 : une somme.** $\int(\sec x + \sec^2 x)\,dx = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + \tan x + C$.

**Exemple 3 : à l'intérieur d'une intégrale plus grosse.** L'intégration par parties transforme $\int\sec^3 x\,dx$ en $\frac{1}{2}\sec x\tan x + \frac{1}{2}\int\sec x\,dx$. Voir l'[intégrale de sec³ x](/integrals/sec-cubed-x).

**Exemple 4 : après un changement de variable trigonométrique.** $\int\frac{dx}{\sqrt{x^2 + 1}}$ avec $x = \tan\theta$ devient $\int\sec\theta\,d\theta = \ln\lvert\sec\theta + \tan\theta\rvert + C = \ln\left(\sqrt{x^2 + 1} + x\right) + C$.

## Erreurs fréquentes

1. **Répondre $\sec x\tan x$.** C'est la dérivée de $\sec x$. Son intégrale se trouve sur la page [intégrale de sec x tan x](/integrals/sec-x-tan-x), dans l'autre sens.
2. **Répondre $\ln\lvert\sec x\rvert$.** C'est l'[intégrale de tan x](/integrals/tan-x).
3. **Répondre $\tan x$.** Cela vient de $\sec^2 x$, pas de $\sec x$.
4. **Oublier la valeur absolue** sur les intervalles où $\sec x + \tan x < 0$.

La version cosécante fonctionne de la même façon : voir l'[intégrale de csc x](/integrals/csc-x).

## Questions fréquentes

### Quelle est l'intégrale de sec x, c'est-à-dire de 1/cos x ?

L'intégrale de $\sec x$ est $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$.

### Comment démontrer l'intégrale de sec x ?

On multiplie le numérateur et le dénominateur par $\sec x + \tan x$. Le numérateur devient $\sec^2 x + \sec x\tan x$, qui est la dérivée du dénominateur $\sec x + \tan x$. Le changement de variable $u = \sec x + \tan x$ donne alors $\ln\lvert u\rvert + C$.

### Quelle est l'intégrale de sec(2x) ?

C'est $\frac{1}{2}\ln\lvert\sec 2x + \tan 2x\rvert + C$.

### Combien vaut l'intégrale de sec x entre 0 et π/4 ?

Elle vaut $\ln\left(\sqrt{2} + 1\right) - \ln(1 + 0) = \ln\left(1 + \sqrt{2}\right) \approx 0.881$.