# Intégrale de sin 2x : formule, démonstration et exemples

> L'intégrale de sin 2x vaut -cos(2x)/2 + C. Le changement de variable, pourquoi sin² x + C et -cos² x + C sont aussi corrects, et des intégrales définies.

Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-de-sin-2x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int \sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C $$

## En bref

- **Primitive:** $-\dfrac{1}{2}\cos 2x + C$
- **Également correct:** $\sin^2 x + C$ ou $-\cos^2 x + C$
- **Méthode:** $u = 2x$, $du = 2\,dx$
- **De 0 à π/2:** $1$
- **Forme générale:** $\int\sin(kx)\,dx = -\dfrac{1}{k}\cos(kx) + C$

## À retenir

- L'intégrale de $\sin 2x$ est $-\frac{1}{2}\cos 2x + C$.
- Le facteur $\frac{1}{2}$ compense le $2$ que produit la dérivation en chaîne quand on dérive $\cos 2x$.
- Comme $\sin 2x = 2\sin x\cos x$, on peut aussi obtenir $\sin^2 x + C$ ou $-\cos^2 x + C$. Les trois sont correctes.
- Des réponses d'apparence différente à une intégrale indéfinie peuvent toutes être justes si elles diffèrent d'une constante.

L'**intégrale de $\sin 2x$ est $-\dfrac{1}{2}\cos 2x + C$**. C'est l'[intégrale de sin x](/integrals/sin-x) avec une étape de plus pour traiter le $2$ à l'intérieur.

$$\int \sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C$$

## Graphique de sin 2x et de sa primitive

```graph
title: 'Aire sous y = sin 2x de 0 à π/2, avec la primitive y = -cos(2x)/2'
caption: 'L''arche hachurée a une aire de $1$, la moitié de l''aire sous une arche de $\sin x$, car elle est comprimée à la moitié de la largeur. La primitive en pointillés monte de $-\frac{1}{2}$ à $\frac{1}{2}$.'
x: [-0.5, 6.5]
y: [-1.5, 1.5]
functions:
  - expr: sin(2x)
    label: y = sin 2x
  - expr: -cos(2x)/2
    label: y = -cos(2x)/2 (primitive)
    dashed: true
shade: {expr: sin(2x), from: 0, to: 1.5708}
points:
  - [0, -0.5, '(0, -1/2)']
  - [1.5708, 0.5, '(π/2, 1/2)']
```

## Démonstration par changement de variable

1. Poser $u = 2x$. Alors $du = 2\,dx$, donc $dx = \frac{1}{2}du$.
2. Substituer : $\displaystyle\int\sin 2x\,dx = \frac{1}{2}\int\sin u\,du$.
3. Intégrer : $\frac{1}{2}(-\cos u) + C$.
4. Remplacer $u = 2x$ : $-\frac{1}{2}\cos 2x + C$.

Les mêmes étapes donnent la règle générale $\int\sin(kx)\,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$. Voir la page du [changement de variable](/rules/u-substitution-rule).

## Vérification par dérivation

$$\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right) = -\frac{1}{2}\cdot(-\sin 2x)\cdot 2 = \sin 2x \checkmark$$

Le facteur $2$ de la dérivation en chaîne compense le $\frac{1}{2}$. Le sens direct se trouve sur la page [dérivée de sin 2x](/derivatives/sin-2x).

## Trois réponses correctes

Avec la formule de duplication $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ :

- Avec $u = \sin x$, $du = \cos x\,dx$ : $\int 2u\,du = \sin^2 x + C$.
- Avec $u = \cos x$, $du = -\sin x\,dx$ : $\int -2u\,du = -\cos^2 x + C$.

Ces réponses semblent différentes de $-\frac{1}{2}\cos 2x$, mais elles ne le sont pas. Comme $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1$ :

$$-\frac{1}{2}\cos 2x = \sin^2 x - \frac{1}{2} = -\cos^2 x + \frac{1}{2}$$

Les trois réponses ne diffèrent donc que par des constantes. C'est permis : le $+C$ absorbe la différence. Cela explique aussi pourquoi la [dérivée de sin² x](/derivatives/sin-squared-x) vaut $\sin 2x$.

## Intégrales définies

$$\int_0^{\pi/2}\sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos\pi + \frac{1}{2}\cos 0 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

$$\int_0^{\pi/4}\sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

$$\int_0^{\pi}\sin 2x\,dx = 0$$

Pour une intégrale définie, les trois formes de la primitive donnent le même nombre, car la constante disparaît dans la soustraction.

## Exemples corrigés

**Exemple 1.** $\int(\sin 2x + \cos 2x)\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}\sin 2x + C$.

**Exemple 2.** $\int 6\sin 3x\,dx = 6\cdot\left(-\frac{1}{3}\cos 3x\right) + C = -2\cos 3x + C$.

**Exemple 3 : sin 2x cos x.** On réécrit $2\sin x\cos^2 x$ et on pose $u = \cos x$ :

$$\int\sin 2x\cos x\,dx = -\frac{2}{3}\cos^3 x + C$$

Vérification : $\frac{d}{dx}\left(-\frac{2}{3}\cos^3 x\right) = 2\cos^2 x\sin x = \sin 2x\cos x$.

**Exemple 4 : sin 2x cos 2x.** On utilise $\sin 2x\cos 2x = \frac{1}{2}\sin 4x$, donc l'intégrale vaut $-\frac{1}{8}\cos 4x + C$.

## Erreurs fréquentes

1. **Répondre $-\cos 2x + C$.** Vous avez oublié le $\frac{1}{2}$. Sa dérivée vaut $2\sin 2x$.
2. **Répondre $-2\cos 2x + C$.** Cela multiplie par $2$, ce que ferait une dérivation.
3. **Croire que $\sin^2 x$ est faux parce que le manuel donne autre chose.** Dérivez-le : vous obtenez $\sin 2x$, donc c'est juste.
4. **Écrire $2\sin x$ pour $\sin 2x$.** $\sin 2x = 2\sin x\cos x$, et non $2\sin x$.

Entraînez-vous avec les [exercices sur le changement de variable](/practice-problems/u-substitution).

## Questions fréquentes

### Quelle est l'intégrale de sin 2x ?

L'intégrale de $\sin 2x$ est $-\frac{1}{2}\cos 2x + C$.

### Pourquoi est-ce que j'obtiens sin² x en intégrant sin 2x ?

Si vous écrivez $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ et posez $u = \sin x$, vous obtenez $\sin^2 x + C$. C'est aussi correct, car $\sin^2 x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x$, qui ne diffère de $-\frac{1}{2}\cos 2x$ que par la constante $\frac{1}{2}$.

### Combien vaut l'intégrale de sin 2x entre 0 et π/2 ?

Elle vaut $\left[-\frac{1}{2}\cos 2x\right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

### Quelle est l'intégrale de 2 sin x cos x ?

C'est la même intégrale, puisque $2\sin x\cos x = \sin 2x$. Au choix $-\frac{1}{2}\cos 2x$, $\sin^2 x$ ou $-\cos^2 x$, plus $C$.