# Intégrale de sin² x : formule, démonstration et exemples

> L'intégrale de sin² x vaut x/2 - sin(2x)/4 + C. La linéarisation pas à pas, la vérification par dérivation, sin²(ax) et des intégrales définies.

Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-de-sin-carre-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int \sin^2 x\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C $$

## En bref

- **Primitive:** $\dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C$
- **Identité utilisée:** $\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}$
- **Forme équivalente:** $\dfrac{x - \sin x\cos x}{2} + C$
- **De 0 à π:** $\dfrac{\pi}{2}$
- **Valeur moyenne:** $\dfrac{1}{2}$ sur une période complète

## À retenir

- L'intégrale de $\sin^2 x$ est $\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$.
- On linéarise d'abord avec $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$. Il n'y a pas de changement de variable direct.
- Sur toute période complète, $\sin^2 x$ vaut $\frac{1}{2}$ en moyenne, donc $\int_0^{\pi}\sin^2 x\,dx = \frac{\pi}{2}$.
- Ce n'est pas $\frac{\sin^3 x}{3}$. La règle de la puissance exige un facteur $\cos x$ qui est absent.

L'**intégrale de $\sin^2 x$ est $\dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C$**. La clé est une formule de linéarisation qui transforme le carré en une expression que l'on intègre terme à terme.

$$\int \sin^2 x\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$$

## Graphique de sin² x et de sa primitive

```graph
title: 'Aire sous y = sin² x de 0 à π, avec la primitive y = x/2 - sin(2x)/4'
caption: 'L''aire hachurée vaut $\frac{\pi}{2} \approx 1.571$, exactement la moitié du rectangle de $\pi$ sur $1$. La primitive en pointillés ondule autour de la droite $y = \frac{x}{2}$.'
x: [-0.5, 6.8]
y: [-0.5, 3.5]
functions:
  - expr: sin(x)^2
    label: y = sin² x
  - expr: x/2 - sin(2x)/4
    label: y = x/2 - sin(2x)/4 (primitive)
    dashed: true
shade: {expr: sin(x)^2, from: 0, to: 3.14159}
points:
  - [3.14159, 1.5708, '(π, π/2)']
```

La courbe de $\sin^2 x$ oscille entre $0$ et $1$ avec une période $\pi$, centrée sur $y = \frac{1}{2}$. C'est pourquoi la primitive croît en moyenne comme $\frac{x}{2}$.

## Démonstration pas à pas

1. Partir de la formule de duplication $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.
2. Isoler $\sin^2 x$ : $\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}$.
3. Remplacer dans l'intégrale :
$$\int\sin^2 x\,dx = \frac{1}{2}\int(1 - \cos 2x)\,dx$$
4. Intégrer chaque terme. $\int 1\,dx = x$ et $\int\cos 2x\,dx = \frac{\sin 2x}{2}$, d'après l'[intégrale de cos x](/integrals/cos-x) avec $a = 2$.
5. Regrouper : $\frac{1}{2}\left(x - \frac{\sin 2x}{2}\right) + C = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$.

Avec $\sin 2x = 2\sin x\cos x$, on peut aussi écrire le résultat $\frac{1}{2}(x - \sin x\cos x) + C$.

## Vérification par dérivation

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4}\right) = \frac{1}{2} - \frac{2\cos 2x}{4} = \frac{1 - \cos 2x}{2} = \sin^2 x \checkmark$$

Le sens direct se trouve sur la page [dérivée de sin² x](/derivatives/sin-squared-x) : $\frac{d}{dx}\sin^2 x = \sin 2x$.

## Intégrales définies

| Intégrale | Valeur |
| --- | --- |
| $\int_0^{\pi/2}\sin^2 x\,dx$ | $\frac{\pi}{4}$ |
| $\int_0^{\pi}\sin^2 x\,dx$ | $\frac{\pi}{2}$ |
| $\int_0^{2\pi}\sin^2 x\,dx$ | $\pi$ |
| $\int_0^{\pi/4}\sin^2 x\,dx$ | $\frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}$ |

Pour la dernière ligne : $\frac{\pi/4}{2} - \frac{\sin(\pi/2)}{4} = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} \approx 0.143$.

Un raccourci : sur une période complète, $\sin^2 x$ et $\cos^2 x$ ont la même aire, et ensemble ils intègrent $1$. Chacun prend donc la moitié de la longueur de l'intervalle.

## Variantes par changement de variable

Pour $\sin^2(ax)$, on utilise $\sin^2(ax) = \frac{1 - \cos 2ax}{2}$ :

$$\int\sin^2(ax)\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2ax)}{4a} + C$$

Ainsi $\int\sin^2(3x)\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 6x}{12} + C$.

Quand un facteur $\cos x$ est présent, on oublie l'identité et on pose $u = \sin x$ :

$$\int\sin^2 x\cos x\,dx = \frac{\sin^3 x}{3} + C$$

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : valeur moyenne.** La moyenne de $\sin^2 x$ sur $[0, 2\pi]$ vaut $\frac{1}{2\pi}\cdot\pi = \frac{1}{2}$. C'est pourquoi la puissance en courant alternatif fait intervenir le facteur $\frac{1}{2}$ (et la valeur efficace le facteur $\frac{1}{\sqrt{2}}$).

**Exemple 2 : volume.** En faisant tourner une arche de $y = \sin x$ autour de l'axe des $x$, on obtient un solide de volume $\pi\int_0^\pi\sin^2 x\,dx = \frac{\pi^2}{2}$.

**Exemple 3 : sin⁴ x.** On élève l'identité au carré : $\sin^4 x = \frac{(1 - \cos 2x)^2}{4} = \frac{1}{4} - \frac{\cos 2x}{2} + \frac{\cos^2 2x}{4}$, puis on linéarise à nouveau $\cos^2 2x$. Le résultat est $\frac{3x}{8} - \frac{\sin 2x}{4} + \frac{\sin 4x}{32} + C$.

## Erreurs fréquentes

1. **Répondre $\frac{\sin^3 x}{3}$.** Sa dérivée est $\sin^2 x\cos x$, pas $\sin^2 x$.
2. **Répondre $-\cos^2 x$.** Sa dérivée est $2\sin x\cos x = \sin 2x$.
3. **Se tromper de signe dans l'identité.** Pour $\sin^2$, c'est $1 - \cos 2x$. Pour $\cos^2$, c'est $1 + \cos 2x$.
4. **Oublier de diviser $\sin 2x$ par $2$** en intégrant $\cos 2x$, ce qui donne $\frac{\sin 2x}{2}$ au lieu de $\frac{\sin 2x}{4}$ à la fin.

Ensuite : l'[intégrale de cos² x](/integrals/cos-squared-x) repose sur la même idée. Entraînez-vous avec les [exercices sur les intégrales trigonométriques](/practice-problems/trig-integrals).

## Questions fréquentes

### Quelle est l'intégrale de sin² x ?

C'est $\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$, que l'on peut aussi écrire $\frac{1}{2}(x - \sin x\cos x) + C$.

### Combien vaut l'intégrale de sin² x entre 0 et π ?

Elle vaut $\frac{\pi}{2} - \frac{\sin 2\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{2}$.

### Quelle est l'intégrale de sin²(3x) ?

C'est $\frac{x}{2} - \frac{\sin 6x}{12} + C$. On utilise $\sin^2(3x) = \frac{1 - \cos 6x}{2}$.

### Pourquoi ne peut-on pas poser u = sin x ?

Alors $du = \cos x\,dx$, mais il n'y a aucun $\cos x$ dans $\int\sin^2 x\,dx$ pour l'absorber. Ce changement de variable ne marche que pour des intégrales comme $\int\sin^2 x\cos x\,dx$.