# Intégrale de sin x : formule, démonstration et exemples

> L'intégrale de sin x vaut -cos x + C. D'où vient le signe moins, l'aire d'une arche, sin(ax + b) par changement de variable et des intégrales définies.

Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-de-sin-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int \sin x\,dx = -\cos x + C $$

## En bref

- **Primitive:** $-\cos x + C$
- **Aire d''une arche:** $\int_0^\pi \sin x\,dx = 2$
- **Période complète:** $\int_0^{2\pi}\sin x\,dx = 0$
- **Forme affine:** $\int\sin(ax + b)\,dx = -\dfrac{1}{a}\cos(ax + b) + C$
- **Vérification:** $\dfrac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x$

## À retenir

- L'intégrale de $\sin x$ est $-\cos x + C$. Le signe moins est indispensable.
- Une arche de la sinusoïde, de $0$ à $\pi$, a une aire d'exactement $2$.
- Sur une période complète, l'intégrale de $\sin x$ vaut $0$, car l'arche sous l'axe compense l'arche au-dessus.
- Pour $\sin(ax + b)$, on divise par $a$ : $\int\sin(3x)\,dx = -\frac{1}{3}\cos(3x) + C$.

L'**intégrale de $\sin x$ est $-\cos x + C$**. La plupart des erreurs sur cette intégrale se résument à une seule chose : le signe moins.

$$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$$

## Graphique de sin x et de sa primitive

```graph
title: 'Aire sous y = sin x de 0 à π, avec la primitive y = -cos x'
caption: 'L''arche hachurée a une aire d''exactement $2$. La courbe en pointillés $y = -\cos x$ monte de $-1$ en $x = 0$ à $1$ en $x = \pi$, soit une variation de $2$.'
x: [-1, 7]
y: [-1.6, 1.6]
functions:
  - expr: sin(x)
    label: y = sin x
  - expr: -cos(x)
    label: y = -cos x (primitive)
    dashed: true
shade: {expr: sin(x), from: 0, to: 3.14159}
points:
  - [0, -1, '(0, -1)']
  - [3.14159, 1, '(π, 1)']
```

Là où $\sin x > 0$ (de $0$ à $\pi$), la primitive $-\cos x$ monte. Là où $\sin x < 0$ (de $\pi$ à $2\pi$), elle redescend.

## Démonstration pas à pas

1. Se demander : quelle fonction a pour dérivée $\sin x$ ?
2. Se rappeler la [dérivée de cos x](/derivatives/cos-x) : $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$.
3. La forme est bonne mais le signe est faux. On multiplie par $-1$ : $\frac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x$.
4. Donc $-\cos x$ est une primitive, et en ajoutant $C$ on les obtient toutes.

Un moyen mnémotechnique : parcourir le cycle $\sin \to \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin$, c'est dériver. Le parcourir à l'envers, c'est intégrer.

## Vérification par dérivation

$$\frac{d}{dx}(-\cos x + C) = -(-\sin x) = \sin x \checkmark$$

## Intégrales définies

Avec le [théorème fondamental de l'analyse](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2) :

$$\int_0^\pi \sin x\,dx = \Big[-\cos x\Big]_0^\pi = -\cos\pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2$$

D'autres valeurs utiles :

| Intégrale | Valeur | Pourquoi |
| --- | --- | --- |
| $\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx$ | $1$ | $-\cos\frac{\pi}{2} + \cos 0 = 0 + 1$ |
| $\int_0^{\pi}\sin x\,dx$ | $2$ | une arche complète |
| $\int_0^{2\pi}\sin x\,dx$ | $0$ | les deux arches se compensent |
| $\int_{-a}^{a}\sin x\,dx$ | $0$ | $\sin x$ est impaire |

Si vous voulez l'aire totale sur $[0, 2\pi]$ plutôt que l'aire algébrique, intégrez $\lvert\sin x\rvert$ : vous obtenez $4$.

## Variantes par changement de variable

Avec $u = ax + b$, $du = a\,dx$ :

$$\int\sin(ax + b)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax + b) + C$$

Ainsi $\int\sin(5x)\,dx = -\frac{1}{5}\cos(5x) + C$ et $\int\sin\left(\frac{x}{2}\right)dx = -2\cos\left(\frac{x}{2}\right) + C$. Pour $\sin(2x)$, il existe une page entière : l'[intégrale de sin 2x](/integrals/sin-2x).

Quand la dérivée de l'intérieur est présente, on fait un changement de variable :

$$\int x\sin(x^2)\,dx = -\frac{1}{2}\cos(x^2) + C \quad (u = x^2)$$

$$\int \sin x\,e^{\cos x}\,dx = -e^{\cos x} + C \quad (u = \cos x)$$

## Exemples corrigés

**Exemple 1.** $\int(3\sin x + 2x)\,dx = -3\cos x + x^2 + C$.

**Exemple 2.** $\int_0^{\pi/3}\sin x\,dx = -\cos\frac{\pi}{3} + \cos 0 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.

**Exemple 3 : position à partir de la vitesse.** Une particule a pour vitesse $v(t) = \sin t$ et part de $s(0) = 0$. Alors $s(t) = -\cos t + C$, et $s(0) = -1 + C = 0$ donne $C = 1$, donc $s(t) = 1 - \cos t$.

**Exemple 4 : valeur moyenne.** La moyenne de $\sin x$ sur $[0, \pi]$ vaut $\frac{1}{\pi}\cdot 2 = \frac{2}{\pi} \approx 0.637$.

## Erreurs fréquentes

1. **Écrire $\cos x + C$.** Vérifiez en dérivant : $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$, donc le signe est faux.
2. **Oublier de diviser par $a$** dans $\int\sin(ax)\,dx$.
3. **Multiplier par $a$ à la place.** $\int\sin(3x)\,dx$ ne vaut pas $-3\cos(3x)$. C'est ce que donnerait une dérivation.
4. **Erreurs de signe dans les intégrales définies.** Écrivez $[-\cos x]$ avec les crochets et soustrayez avec soin : $-\cos\pi = +1$.

Ensuite, voyez l'[intégrale de cos x](/integrals/cos-x), ou entraînez-vous avec les [exercices sur les intégrales trigonométriques](/practice-problems/trig-integrals).

## Questions fréquentes

### Quelle est l'intégrale de sin x ?

L'intégrale de $\sin x$ est $-\cos x + C$.

### Pourquoi l'intégrale de sin x est-elle moins cos x ?

Parce que la dérivée de $\cos x$ est $-\sin x$. Pour obtenir $+\sin x$, il faut dériver $-\cos x$.

### Combien vaut l'intégrale de sin x entre 0 et π ?

Elle vaut $-\cos\pi - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2$.

### Quelle est l'intégrale de sin(2x) ?

C'est $-\frac{1}{2}\cos(2x) + C$. Le facteur $\frac{1}{2}$ compense le $2$ que produirait la dérivation en chaîne.