# Intégrale de tan² x : formule, démonstration et exemples

> L'intégrale de tan² x vaut tan x - x + C. Comment l'identité tan² x = sec² x - 1 fait tout le travail, puis tan²(ax), tan³ x et des intégrales définies.

Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-de-tan-carre-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int \tan^2 x\,dx = \tan x - x + C $$

## En bref

- **Primitive:** $\tan x - x + C$
- **Identité utilisée:** $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$
- **De 0 à π/4:** $1 - \dfrac{\pi}{4} \approx 0.215$
- **Forme affine:** $\int\tan^2(ax)\,dx = \dfrac{\tan(ax)}{a} - x + C$
- **Version cotangente:** $\int\cot^2 x\,dx = -\cot x - x + C$

## À retenir

- L'intégrale de $\tan^2 x$ est $\tan x - x + C$.
- On réécrit avec l'identité de Pythagore $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$, puis on intègre chaque terme.
- N'utilisez pas la règle de la puissance. $\frac{\tan^3 x}{3}$ est faux.
- La même identité permet de traiter les puissances impaires comme $\tan^3 x$.

L'**intégrale de $\tan^2 x$ est $\tan x - x + C$**. Une seule identité la transforme en deux intégrales que vous connaissez déjà. Ici sec² x désigne 1/cos² x, c'est-à-dire 1 + tan² x.

$$\int \tan^2 x\,dx = \tan x - x + C$$

## Graphique de tan² x et de sa primitive

```graph
title: 'Aire sous y = tan² x de 0 à π/4, avec la primitive y = tan x - x'
caption: 'L''aire hachurée vaut $1 - \frac{\pi}{4} \approx 0.215$. La primitive en pointillés a une tangente horizontale à l''origine, car $\tan^2 0 = 0$, et ne décroît jamais.'
x: [-1.6, 1.6]
y: [-2.5, 4]
functions:
  - expr: tan(x)^2
    label: y = tan² x
    domain: [-1.1, 1.1]
  - expr: tan(x) - x
    label: y = tan x - x (primitive)
    dashed: true
    domain: [-1.4, 1.4]
shade: {expr: tan(x)^2, from: 0, to: 0.7854}
points:
  - [0.7854, 1, '(π/4, 1)']
```

## Démonstration pas à pas

1. Partir de l'identité de Pythagore $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. En divisant par $\cos^2 x$, on obtient $\tan^2 x + 1 = \sec^2 x$.
2. Réarranger : $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$.
3. Remplacer : $\displaystyle\int\tan^2 x\,dx = \int\sec^2 x\,dx - \int 1\,dx$.
4. Utiliser l'[intégrale de sec² x](/integrals/sec-squared-x), $\tan x$, et l'[intégrale d'une constante](/integrals/constant), $x$.
5. Regrouper : $\tan x - x + C$.

## Vérification par dérivation

$$\frac{d}{dx}(\tan x - x) = \sec^2 x - 1 = \tan^2 x \checkmark$$

## Intégrales définies

$$\int_0^{\pi/4}\tan^2 x\,dx = \left(\tan\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\right) - 0 = 1 - \frac{\pi}{4} \approx 0.215$$

$$\int_0^{\pi/3}\tan^2 x\,dx = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} \approx 0.685$$

Comme $\tan^2 x$ est paire, $\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\tan^2 x\,dx = 2 - \frac{\pi}{2}$.

## Variantes par changement de variable

$$\int\tan^2(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\tan(ax + b) - x + C$$

Remarquez que seul le terme en $\tan$ reçoit le facteur $\frac{1}{a}$. Le $-x$ vient de l'intégration de la constante $1$, qui n'a pas de fonction intérieure.

**Exemple 1.** $\int\tan^2(3x)\,dx = \frac{1}{3}\tan(3x) - x + C$.

**Exemple 2.** $\int\tan^2\frac{x}{2}\,dx = 2\tan\frac{x}{2} - x + C$.

## Puissances supérieures de tan

L'identité $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ est la clé de toutes les puissances de $\tan x$.

**Exemple 3 : tan³ x.**

$$\int\tan^3 x\,dx = \int\tan x(\sec^2 x - 1)\,dx = \int\tan x\sec^2 x\,dx - \int\tan x\,dx$$

Le premier morceau vaut $\frac{\tan^2 x}{2}$ avec $u = \tan x$. Le second est l'[intégrale de tan x](/integrals/tan-x). Donc

$$\int\tan^3 x\,dx = \frac{\tan^2 x}{2} - \ln\lvert\sec x\rvert + C$$

**Exemple 4 : tan² x sec² x.** Ici $u = \tan x$ fonctionne directement : $\int\tan^2 x\sec^2 x\,dx = \frac{\tan^3 x}{3} + C$. C'est le seul cas où $\frac{\tan^3 x}{3}$ est la bonne réponse, car le facteur $\sec^2 x$ est présent.

**Exemple 5 : tan⁴ x.** $\tan^4 x = \tan^2 x(\sec^2 x - 1) = \tan^2 x\sec^2 x - \tan^2 x$, donc

$$\int\tan^4 x\,dx = \frac{\tan^3 x}{3} - \tan x + x + C$$

## Erreurs fréquentes

1. **Répondre $\frac{\tan^3 x}{3}$.** Il faudrait un facteur $\sec^2 x$. Vérification : sa dérivée vaut $\tan^2 x\sec^2 x$.
2. **Répondre $\sec^2 x$ ou $\ln^2\lvert\sec x\rvert$.** Aucune des deux ne redonne $\tan^2 x$ en dérivant.
3. **Inverser l'identité.** C'est $\sec^2 x - 1$, pas $1 - \sec^2 x$. Testez en $x = \frac{\pi}{4}$ : $\tan^2 = 1$ et $\sec^2 - 1 = 2 - 1 = 1$.
4. **Diviser $-x$ par $a$** dans $\int\tan^2(ax)\,dx$.

Entraînez-vous avec les [exercices sur les intégrales trigonométriques](/practice-problems/trig-integrals).

## Questions fréquentes

### Quelle est l'intégrale de tan² x ?

C'est $\tan x - x + C$.

### Combien vaut l'intégrale de tan² x entre 0 et π/4 ?

Elle vaut $\left(1 - \frac{\pi}{4}\right) - 0 = 1 - \frac{\pi}{4} \approx 0.215$.

### Quelle est l'intégrale de tan²(2x) ?

C'est $\frac{1}{2}\tan(2x) - x + C$.

### Quelle est l'intégrale de tan³ x ?

On écrit $\tan^3 x = \tan x\sec^2 x - \tan x$. Le résultat est $\frac{\tan^2 x}{2} - \ln\lvert\sec x\rvert + C$.