# Intégrale de tan x : formule, démonstration et exemples

> L'intégrale de tan x vaut -ln|cos x| + C, ou ln|sec x| + C. Le changement de variable u = cos x, pourquoi les deux formes coïncident, et des exemples.

Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-de-tan-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int \tan x\,dx = \ln\lvert\sec x\rvert + C $$

## En bref

- **Primitive:** $\ln\lvert\sec x\rvert + C$
- **Forme équivalente:** $-\ln\lvert\cos x\rvert + C$
- **Méthode:** Écrire $\dfrac{\sin x}{\cos x}$, puis poser $u = \cos x$
- **Forme affine:** $\int\tan(ax)\,dx = \dfrac{1}{a}\ln\lvert\sec(ax)\rvert + C$
- **Vérification:** $\dfrac{d}{dx}\ln\lvert\sec x\rvert = \tan x$

## À retenir

- L'intégrale de $\tan x$ est $\ln\lvert\sec x\rvert + C$, ce qui revient à $-\ln\lvert\cos x\rvert + C$.
- On écrit $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ et on pose $u = \cos x$.
- Ce n'est pas $\sec^2 x$. C'est la dérivée de $\tan x$.
- La valeur absolue garde la formule valable là où $\cos x < 0$.

L'**intégrale de $\tan x$ est $\ln\lvert\sec x\rvert + C$**, où sec désigne la sécante, l'inverse du cosinus. Aucune dérivée de base ne donne directement $\tan x$, donc le résultat vient d'un rapide changement de variable.

$$\int \tan x\,dx = \ln\lvert\sec x\rvert + C = -\ln\lvert\cos x\rvert + C$$

## Graphique de tan x et de sa primitive

```graph
title: 'Aire sous y = tan x de 0 à π/4, avec la primitive y = ln|sec x|'
caption: 'L''aire hachurée vaut $\ln\sqrt{2} \approx 0.347$. La primitive en pointillés a un minimum en $x = 0$, où $\tan x = 0$, et monte en flèche près des asymptotes $x = \pm\frac{\pi}{2}$.'
x: [-1.6, 1.6]
y: [-3, 3]
functions:
  - expr: tan(x)
    label: y = tan x
    domain: [-1.25, 1.25]
  - expr: ln(abs(sec(x)))
    label: y = ln|sec x| (primitive)
    dashed: true
    domain: [-1.52, 1.52]
shade: {expr: tan(x), from: 0, to: 0.7854}
points:
  - [0.7854, 1, '(π/4, 1)']
```

## Démonstration pas à pas

1. Écrire avec sinus et cosinus : $\displaystyle\int\tan x\,dx = \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx$.
2. Poser $u = \cos x$. Alors $du = -\sin x\,dx$, donc $\sin x\,dx = -du$.
3. Substituer : $\displaystyle\int\frac{-du}{u} = -\ln\lvert u\rvert + C$.
4. Remplacer $u = \cos x$ : $-\ln\lvert\cos x\rvert + C$.
5. Simplifier avec une propriété du logarithme : $-\ln\lvert\cos x\rvert = \ln\frac{1}{\lvert\cos x\rvert} = \ln\lvert\sec x\rvert$.

L'étape 3 utilise l'[intégrale de 1/x](/integrals/1-over-x). C'est le schéma $\int\frac{f'}{f}\,dx = \ln\lvert f\rvert$, avec un signe moins car le numérateur vaut $-f'$.

## Vérification par dérivation

$$\frac{d}{dx}\ln\lvert\sec x\rvert = \frac{1}{\sec x}\cdot\sec x\tan x = \tan x \checkmark$$

On utilise ici la [dérivée de sec x](/derivatives/sec-x), $\sec x\tan x$. Comparez avec la [dérivée de tan x](/derivatives/tan-x), qui vaut $\sec^2 x$ : un résultat complètement différent.

## Intégrales définies

$$\int_0^{\pi/4}\tan x\,dx = \Big[\ln\lvert\sec x\rvert\Big]_0^{\pi/4} = \ln\sqrt{2} - \ln 1 = \frac{1}{2}\ln 2$$

$$\int_0^{\pi/3}\tan x\,dx = \ln\sec\frac{\pi}{3} - 0 = \ln 2$$

Comme $\tan x$ est impaire, $\int_{-a}^{a}\tan x\,dx = 0$ pour $a < \frac{\pi}{2}$. Intégrer jusqu'à $\frac{\pi}{2}$ donne une intégrale impropre qui diverge, car $\ln\sec x \to \infty$.

## Variantes par changement de variable

$$\int\tan(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\ln\lvert\sec(ax + b)\rvert + C$$

Par exemple, $\int\tan(3x)\,dx = \frac{1}{3}\ln\lvert\sec(3x)\rvert + C$.

Avec la dérivée de l'intérieur en facteur : $\int x\tan(x^2)\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert\sec(x^2)\rvert + C$.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : tan fois sec².** $\int\tan x\sec^2 x\,dx$ avec $u = \tan x$, $du = \sec^2 x\,dx$, donne $\frac{\tan^2 x}{2} + C$.

**Exemple 2 : tan au cube.** On utilise $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ :

$$\int\tan^3 x\,dx = \int\tan x\sec^2 x\,dx - \int\tan x\,dx = \frac{\tan^2 x}{2} - \ln\lvert\sec x\rvert + C$$

**Exemple 3 : la cotangente.** Les mêmes étapes avec $u = \sin x$ donnent $\int\cot x\,dx = \ln\lvert\sin x\rvert + C$. Voir l'[intégrale de cotan x](/integrals/cot-x).

## Erreurs fréquentes

1. **Répondre $\sec^2 x$.** C'est la dérivée de $\tan x$, pas son intégrale.
2. **Répondre $\ln\lvert\cos x\rvert$ sans le signe moins.** Sa dérivée vaut $-\tan x$.
3. **Oublier la valeur absolue.** $\cos x$ est négatif sur $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$, et le $\ln$ d'un nombre négatif n'est pas défini.
4. **La confondre avec $\int\tan^2 x\,dx$**, qui vaut $\tan x - x + C$. Voir l'[intégrale de tan² x](/integrals/tan-squared-x).

Entraînez-vous avec les [exercices sur le changement de variable](/practice-problems/u-substitution).

## Questions fréquentes

### Quelle est l'intégrale de tan x ?

L'intégrale de $\tan x$ est $\ln\lvert\sec x\rvert + C$. En France, on l'écrit le plus souvent $-\ln\lvert\cos x\rvert + C$.

### ln|sec x| et -ln|cos x| sont-ils identiques ?

Oui. Comme $\sec x = \frac{1}{\cos x}$, $\ln\lvert\sec x\rvert = \ln\frac{1}{\lvert\cos x\rvert} = -\ln\lvert\cos x\rvert$.

### Combien vaut l'intégrale de tan x entre 0 et π/4 ?

Elle vaut $\ln\sec\frac{\pi}{4} - \ln\sec 0 = \ln\sqrt{2} = \frac{1}{2}\ln 2 \approx 0.347$.

### Quelle est l'intégrale de tan(2x) ?

C'est $\frac{1}{2}\ln\lvert\sec(2x)\rvert + C$.