# Intégrale de |x| : formule, démonstration et exemples

> L'intégrale de |x| vaut x|x|/2 + C. Comment couper en zéro, pourquoi le résultat n'est pas |x²/2|, et le calcul d'intégrales comme |x - 1| entre 0 et 4.

Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-de-valeur-absolue-de-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int \lvert x\rvert\,dx = \frac{x\lvert x\rvert}{2} + C $$

## En bref

- **Primitive:** $\dfrac{x\lvert x\rvert}{2} + C$
- **Pour x ≥ 0:** $\dfrac{x^2}{2} + C$
- **Pour x < 0:** $-\dfrac{x^2}{2} + C$
- **Intervalle symétrique:** $\int_{-a}^{a}\lvert x\rvert\,dx = a^2$
- **Vérification:** $\dfrac{d}{dx}\dfrac{x\lvert x\rvert}{2} = \lvert x\rvert$

## À retenir

- L'intégrale de $\lvert x\rvert$ est $\frac{x\lvert x\rvert}{2} + C$.
- Pour une intégrale définie, coupez l'intervalle là où l'expression dans la valeur absolue change de signe.
- $\int_{-a}^{a}\lvert x\rvert\,dx = a^2$ : deux triangles d'aire $\frac{a^2}{2}$ chacun.
- $\frac{x^2}{2} + C$ n'est correct que pour $x \ge 0$. Pour $x < 0$, il faut $-\frac{x^2}{2}$.

L'**intégrale de $\lvert x\rvert$ est $\dfrac{x\lvert x\rvert}{2} + C$**. Comme $\lvert x\rvert$ est définie en deux morceaux, le plus simple pour trouver son intégrale est d'intégrer chaque morceau puis de les recoller.

$$\int \lvert x\rvert\,dx = \frac{x\lvert x\rvert}{2} + C$$

## Graphique de |x| et de sa primitive

```graph
title: 'Aire sous y = |x| de -1 à 2, avec la primitive y = x|x|/2'
caption: 'La région hachurée est formée de deux triangles d''aires $\frac{1}{2}$ et $2$, soit $\frac{5}{2}$ au total. La primitive en pointillés vaut $-\frac{x^2}{2}$ à gauche et $\frac{x^2}{2}$ à droite.'
x: [-2.5, 2.5]
y: [-2.5, 3]
functions:
  - expr: abs(x)
    label: y = |x|
  - expr: x*abs(x)/2
    label: y = x|x|/2 (primitive)
    dashed: true
shade: {expr: abs(x), from: -1, to: 2}
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
```

La primitive est toujours croissante, puisque $\lvert x\rvert \ge 0$. Elle a une tangente horizontale à l'origine, où $\lvert x\rvert = 0$, et elle y est lisse alors que $\lvert x\rvert$ présente un point anguleux.

## Démonstration, morceau par morceau

1. Séparer la fonction : $\lvert x\rvert = x$ pour $x \ge 0$ et $\lvert x\rvert = -x$ pour $x < 0$.
2. Intégrer chaque morceau avec l'[intégrale de x](/integrals/x) : $\frac{x^2}{2}$ à droite, $-\frac{x^2}{2}$ à gauche.
3. Les raccorder en $x = 0$. Les deux morceaux y valent $0$, donc aucune constante supplémentaire n'est nécessaire.
4. Écrire les deux morceaux en une seule formule. Comme $x\lvert x\rvert = x^2$ pour $x \ge 0$ et $x\lvert x\rvert = -x^2$ pour $x < 0$, la primitive est $\frac{x\lvert x\rvert}{2}$.
5. Ajouter $C$.

On peut aussi écrire le résultat $\frac{x^2}{2}\operatorname{sgn}(x) + C$, où $\operatorname{sgn}(x)$ est le signe de $x$.

## Vérification par dérivation

Pour $x > 0$ : $\frac{d}{dx}\frac{x^2}{2} = x = \lvert x\rvert$. Pour $x < 0$ : $\frac{d}{dx}\left(-\frac{x^2}{2}\right) = -x = \lvert x\rvert$. En $x = 0$, les deux pentes à gauche et à droite valent $0$, donc la dérivée vaut $0 = \lvert 0\rvert$. La vérification fonctionne partout. Comparez avec la [dérivée de |x|](/derivatives/absolute-value-of-x), qui n'existe pas en $0$.

## Intégrales définies : couper au changement de signe

Pour une intégrale définie, on a rarement besoin de la formule de la primitive. On coupe l'intervalle là où l'expression entre les barres s'annule, puis on utilise les [propriétés de l'intégrale définie](/rules/definite-integral-properties).

**Exemple 1.** $\int_{-2}^{3}\lvert x\rvert\,dx = \int_{-2}^{0}(-x)\,dx + \int_{0}^{3}x\,dx = 2 + \frac{9}{2} = \frac{13}{2}$.

**Exemple 2.** $\int_{-a}^{a}\lvert x\rvert\,dx = a^2$ pour tout $a > 0$. La fonction est paire, donc c'est le double de $\int_0^a x\,dx = \frac{a^2}{2}$.

**Exemple 3 : intérieur décalé.** Pour $\int_0^4\lvert x - 1\rvert\,dx$, l'intérieur s'annule en $x = 1$ :

$$\int_0^1 (1 - x)\,dx + \int_1^4 (x - 1)\,dx = \frac{1}{2} + \frac{9}{2} = 5$$

**Exemple 4 : distance totale.** Si la vitesse est $v(t) = t - 2$ sur $[0, 5]$, le déplacement vaut $\int_0^5 (t - 2)\,dt = \frac{5}{2}$, mais la distance totale parcourue vaut $\int_0^5\lvert t - 2\rvert\,dt = 2 + \frac{9}{2} = \frac{13}{2}$. C'est la raison la plus courante d'intégrer une valeur absolue.

## Variante par changement de variable

Pour un intérieur affine, $\int\lvert ax + b\rvert\,dx = \frac{(ax + b)\lvert ax + b\rvert}{2a} + C$. Par exemple, $\int\lvert 2x - 3\rvert\,dx = \frac{(2x - 3)\lvert 2x - 3\rvert}{4} + C$.

## Erreurs fréquentes

1. **Répondre $\frac{x^2}{2} + C$.** Ce n'est correct que pour $x \ge 0$.
2. **Répondre $\left\lvert\frac{x^2}{2}\right\rvert + C$.** Sa dérivée est $x$, qui est négative pour $x < 0$.
3. **Trouver $0$ pour $\int_{-a}^{a}\lvert x\rvert\,dx$.** $\lvert x\rvert$ est paire, pas impaire. Rien ne se compense.
4. **Couper au mauvais endroit.** Pour $\lvert x - 1\rvert$, on coupe en $x = 1$, pas en $x = 0$.

Entraînez-vous à ce découpage avec les [exercices sur les intégrales définies](/practice-problems/definite-integrals).

## Questions fréquentes

### Quelle est l'intégrale de |x| ?

C'est $\frac{x\lvert x\rvert}{2} + C$. Cela vaut $\frac{x^2}{2}$ pour $x \ge 0$ et $-\frac{x^2}{2}$ pour $x < 0$.

### Combien vaut l'intégrale de |x| entre -1 et 1 ?

Elle vaut $1$. Le graphique forme deux triangles, chacun d'aire $\frac{1}{2}$.

### Pourquoi l'intégrale de |x| n'est-elle pas |x²/2| ?

$\left\lvert\frac{x^2}{2}\right\rvert = \frac{x^2}{2}$, dont la dérivée est $x$. Pour $x$ négatif, c'est négatif, alors que $\lvert x\rvert$ est positif. Il faut le changement de signe qu'apporte $x\lvert x\rvert$.

### |x| est-elle intégrable malgré son point anguleux ?

Oui. $\lvert x\rvert$ est continue, et toute fonction continue sur un intervalle fermé est intégrable. Le point anguleux l'empêche seulement d'être dérivable en $0$.