# Intégrale de x² eˣ : formule, méthode et exemples

> L'intégrale de x² eˣ vaut (x² − 2x + 2)eˣ + C. Deux intégrations par parties, la méthode du tableau, la vérification, un graphique et le cas xⁿ eˣ.

Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-de-x-carre-e-puissance-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int x^2 e^x\,dx = (x^2 - 2x + 2)e^x + C $$

## En bref

- **Primitive:** $(x^2 - 2x + 2)e^x + C$
- **Méthode:** Deux intégrations par parties, ou la méthode du tableau
- **De 0 à 1:** $e - 2 \approx 0.718$
- **Avec e^(−x), de 0 à ∞:** $\int_0^\infty x^2e^{-x}\,dx = 2$
- **Schéma:** $\int x^3e^x\,dx = (x^3 - 3x^2 + 6x - 6)e^x + C$

## À retenir

- L'intégrale de $x^2e^x$ est $(x^2 - 2x + 2)e^x + C$.
- On intègre deux fois par parties en prenant pour $u$ la puissance de $x$. Chaque passage abaisse la puissance de un.
- La méthode du tableau fait les deux passages d'un coup : on dérive $x^2$ jusqu'à zéro, on intègre $e^x$, et on alterne les signes.
- Le schéma continue : $\int_0^\infty x^n e^{-x}\,dx = n!$.

L'**intégrale de $x^2e^x$ est $(x^2 - 2x + 2)e^x + C$**. Elle demande deux intégrations par parties, et c'est l'exemple type de la méthode du tableau.

$$\int x^2e^x\,dx = (x^2 - 2x + 2)e^x + C$$

## Graphique de x² eˣ et de sa primitive

```graph
title: 'y = x² eˣ et sa primitive (x² − 2x + 2)eˣ'
caption: 'L''aire hachurée de $0$ à $1$ vaut $e - 2 \approx 0.718$. La primitive en pointillés est toujours croissante, car $x^2e^x \ge 0$ pour tout $x$.'
x: [-5, 1.5]
y: [-0.5, 5]
functions:
  - expr: x^2*e^x
    label: y = x² eˣ
  - expr: (x^2 - 2x + 2)*e^x
    label: y = (x² − 2x + 2)eˣ (primitive)
    dashed: true
shade:
  expr: x^2*e^x
  from: 0
  to: 1
points:
  - [0, 2, '(0, 2)']
  - [1, 2.718, '(1, e)']
```

## Comment intégrer x² eˣ pas à pas

On utilise l'[intégration par parties](/rules/integration-by-parts-rule), $\int u\,dv = uv - \int v\,du$, avec la puissance de $x$ comme $u$ à chaque fois.

1. **Premier passage.** $u = x^2$, $dv = e^x\,dx$, donc $du = 2x\,dx$ et $v = e^x$ :
$$\int x^2e^x\,dx = x^2e^x - 2\int xe^x\,dx$$
2. **Second passage.** Vous savez déjà que $\int xe^x\,dx = (x-1)e^x$, d'après l'[intégrale de x eˣ](/integrals/x-e-to-the-x). Sinon, reprenez $u = x$, $dv = e^x\,dx$.
3. **Regrouper.**
$$x^2e^x - 2(x - 1)e^x + C = (x^2 - 2x + 2)e^x + C$$

## La méthode du tableau

Quand un facteur finit par s'annuler en le dérivant et que l'autre s'intègre facilement de façon répétée, on dresse un tableau. On dérive $x^2$ dans la colonne de gauche, on intègre $e^x$ dans celle de droite, et on affecte des signes alternés :

| Signe | Dériver | Intégrer |
| --- | --- | --- |
| $+$ | $x^2$ | $e^x$ |
| $-$ | $2x$ | $e^x$ |
| $+$ | $2$ | $e^x$ |
| | $0$ | $e^x$ |

On multiplie chaque élément de gauche par l'élément de droite de la ligne suivante, avec le signe de la ligne de gauche :

$$+x^2e^x - 2xe^x + 2e^x = (x^2 - 2x + 2)e^x$$

La leçon sur les [intégrations par parties répétées et LIATE](/learn/calculus-2/integration-techniques/repeated-parts-and-liate) fait pratiquer cette méthode.

## Vérification par dérivation

$$\frac{d}{dx}\Big[(x^2 - 2x + 2)e^x\Big] = (2x - 2)e^x + (x^2 - 2x + 2)e^x = x^2e^x$$

Tout se simplifie sauf $x^2$. Un bon moyen de retenir le résultat : le polynôme $p(x) = x^2 - 2x + 2$ vérifie $p + p' = x^2$.

## Intégrales définies

**De 0 à 1 :**

$$\Big[(x^2 - 2x + 2)e^x\Big]_0^1 = (1)e - (2)(1) = e - 2 \approx 0.718$$

**De −∞ à 0 :** quand $x \to -\infty$, $(x^2 - 2x + 2)e^x \to 0$, donc l'intégrale vaut $2 - 0 = 2$.

**Avec une exponentielle décroissante.** $\int x^2e^{-x}\,dx = -(x^2 + 2x + 2)e^{-x} + C$, donc

$$\int_0^\infty x^2e^{-x}\,dx = 0 - (-2) = 2 = 2!$$

C'est un cas particulier du résultat sur la fonction Gamma, $\int_0^\infty x^ne^{-x}\,dx = n!$. Voir les [intégrales impropres](/blog/improper-integrals) pour comprendre pourquoi la limite à l'infini vaut $0$.

## Le schéma xⁿ eˣ

Chaque puissance de $x$ supplémentaire ajoute une ligne au tableau :

| Intégrale | Résultat |
| --- | --- |
| $\int e^x\,dx$ | $e^x + C$ |
| $\int xe^x\,dx$ | $(x - 1)e^x + C$ |
| $\int x^2e^x\,dx$ | $(x^2 - 2x + 2)e^x + C$ |
| $\int x^3e^x\,dx$ | $(x^3 - 3x^2 + 6x - 6)e^x + C$ |

Le polynôme est $x^n$ moins sa dérivée plus sa dérivée seconde, et ainsi de suite, avec des signes alternés.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : une exponentielle plus rapide.** $\int x^2e^{2x}\,dx$. Dans la méthode du tableau, la colonne de droite est $e^{2x}, \frac{1}{2}e^{2x}, \frac{1}{4}e^{2x}, \frac{1}{8}e^{2x}$ :

$$\frac{x^2}{2}e^{2x} - \frac{2x}{4}e^{2x} + \frac{2}{8}e^{2x} + C = \left(\frac{x^2}{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\right)e^{2x} + C$$

**Exemple 2 : un polynôme du second degré.** $\int(x^2 + 1)e^x\,dx$. Ici $p = x^2 + 1$, et le schéma donne $(p - p' + p'')e^x = (x^2 + 1 - 2x + 2)e^x = (x^2 - 2x + 3)e^x + C$.

**Exemple 3 : d'abord un changement de variable.** $\int x^3e^{x^2}\,dx$. On pose $w = x^2$, $dw = 2x\,dx$, et l'intégrale devient $\frac{1}{2}\int we^w\,dw = \frac{1}{2}(x^2 - 1)e^{x^2} + C$.

## Erreurs fréquentes

1. **S'arrêter après un passage.** $x^2e^x - 2\int xe^x\,dx$ contient encore une intégrale.
2. **Perdre le facteur 2.** Le premier passage fait apparaître $2x$, et le $2$ multiplie tout le second résultat.
3. **Mauvais signes dans le tableau.** Les signes alternent $+, -, +$ à partir de la première ligne.
4. **Choisir $u = e^x$.** La puissance de $x$ augmente au lieu de diminuer.

Pour vous entraîner : les [exercices sur l'intégration par parties](/practice-problems/integration-by-parts).

## Questions fréquentes

### Quelle est l'intégrale de x² eˣ ?

C'est $(x^2 - 2x + 2)e^x + C$, soit en développant $x^2e^x - 2xe^x + 2e^x + C$.

### Quelle est l'intégrale de x² e^(−x) ?

C'est $-(x^2 + 2x + 2)e^{-x} + C$. De $0$ à $\infty$, elle vaut $2$.

### Combien de fois faut-il intégrer par parties pour x² eˣ ?

Deux fois. Le premier passage transforme $x^2$ en $2x$, et le second transforme $2x$ en $2$. Il ne reste alors que $\int e^x\,dx$.

### Quelle est l'intégrale de x³ eˣ ?

C'est $(x^3 - 3x^2 + 6x - 6)e^x + C$. On utilise la méthode du tableau avec les trois dérivées non nulles de $x^3$.