# Intégrale de x² : formule, démonstration et exemples

> L'intégrale de x² vaut x³/3 + C. Règle de la puissance inverse, preuve par les sommes de Riemann, intégrales définies, forme (ax + b)² et erreurs.

Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-de-x-carre
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C $$

## En bref

- **Primitive:** $\dfrac{x^3}{3} + C$
- **Règle utilisée:** Règle de la puissance inverse avec $n = 2$
- **Aire de 0 à b:** $\dfrac{b^3}{3}$
- **Aire de 0 à 1:** $\dfrac{1}{3}$
- **Vérification:** $\dfrac{d}{dx}\dfrac{x^3}{3} = x^2$

## À retenir

- L'intégrale de $x^2$ est $\frac{x^3}{3} + C$.
- L'aire sous $y = x^2$ de $0$ à $b$ vaut $\frac{b^3}{3}$, soit un tiers du rectangle de $b$ sur $b^2$ qui l'entoure.
- L'intégrale de $3x^2$ est $x^3 + C$, c'est la façon la plus simple de retenir le principe.
- Avec une expression affine à l'intérieur, $\int (ax + b)^2\,dx = \frac{(ax + b)^3}{3a} + C$.

L'**intégrale de $x^2$ est $\dfrac{x^3}{3} + C$**. On ajoute un à l'exposant et on divise par le nouvel exposant.

$$\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C$$

## Graphique : l'aire sous y = x²

```graph
title: 'Aire sous y = x² de 0 à 2, avec la primitive y = x³/3'
caption: 'L''aire hachurée vaut $\frac{2^3}{3} = \frac{8}{3} \approx 2.67$. La primitive en pointillés $y = \frac{x^3}{3}$ passe par $\left(2, \frac{8}{3}\right)$.'
x: [-2, 2.6]
y: [-2.5, 5]
functions:
  - expr: x^2
    label: y = x²
  - expr: x^3/3
    label: y = x³/3 (primitive)
    dashed: true
shade: {expr: x^2, from: 0, to: 2}
points:
  - [2, 2.667, '(2, 8/3)']
```

Remarquez que la primitive a une tangente horizontale en $x = 0$ (là où $x^2 = 0$) et qu'elle ne décroît jamais, car $x^2$ n'est jamais négatif.

## Démonstration avec la règle de la puissance inverse

1. Partir de la [règle de la puissance inverse](/rules/reverse-power-rule) : $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ pour $n \ne -1$.
2. Poser $n = 2$ : le nouvel exposant est $3$.
3. Diviser par $3$ : $\frac{x^3}{3}$.
4. Ajouter $C$.

## Une preuve par les sommes de Riemann

On peut aussi trouver l'aire sous $x^2$ de $0$ à $b$ sans connaître de primitive. On découpe $[0, b]$ en $n$ bandes de largeur $\frac{b}{n}$ et on prend les extrémités droites $x_i = \frac{bi}{n}$ :

$$\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{bi}{n}\right)^2\frac{b}{n} = \frac{b^3}{n^3}\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{b^3}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Quand $n \to \infty$, la fraction $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}$ tend vers $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$, donc l'aire vaut $\frac{b^3}{3}$. Cela correspond à la primitive. C'est le même calcul qu'Archimède a fait pour la parabole, et vous pouvez vous y exercer avec le guide sur les [sommes de Riemann](/blog/riemann-sums).

## Vérification par dérivation

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3} + C\right) = \frac{3x^2}{3} = x^2 \checkmark$$

Voir aussi la [dérivée de x²](/derivatives/x-squared).

## Variante par changement de variable : intégrale de (ax + b)²

Avec $u = ax + b$ et $du = a\,dx$ :

$$\int (ax + b)^2\,dx = \frac{1}{a}\int u^2\,du = \frac{(ax + b)^3}{3a} + C$$

Par exemple, $\int (2x + 1)^2\,dx = \frac{(2x + 1)^3}{6} + C$. Vérification : la dérivée vaut $\frac{3(2x+1)^2\cdot 2}{6} = (2x + 1)^2$.

La même idée s'applique avec un facteur $x$ supplémentaire : $\int x(x^2 + 1)^2\,dx = \frac{(x^2 + 1)^3}{6} + C$, en posant $u = x^2 + 1$. Plus de détails sur la page du [changement de variable](/rules/u-substitution-rule).

## Exemples corrigés

**Exemple 1.** $\int_1^3 x^2\,dx = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$.

**Exemple 2.** $\int (x^2 + 3x - 2)\,dx = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - 2x + C$.

**Exemple 3.** $\int_{-2}^{2} x^2\,dx = \frac{8}{3} - \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{16}{3}$. Comme $x^2$ est paire, c'est le double de $\int_0^2 x^2\,dx$.

**Exemple 4 : volume.** En faisant tourner $y = x$ autour de l'axe des $x$ sur $[0, h]$, on obtient un cône de volume $\pi\int_0^h x^2\,dx = \frac{\pi h^3}{3}$, le fameux $\frac{1}{3}\pi r^2 h$ avec $r = h$.

## Erreurs fréquentes

1. **Écrire $2x$.** C'est la dérivée, pas l'intégrale.
2. **Oublier de diviser par $3$.** $x^3$ a pour dérivée $3x^2$, pas $x^2$.
3. **Intégrer $(2x + 1)^2$ en $\frac{(2x+1)^3}{3}$.** Il faut aussi diviser par la dérivée de l'intérieur, $2$.
4. **Élever au carré l'intégrale de $x$.** L'intégrale d'un produit n'est pas le produit des intégrales.

Entraînez-vous avec les [exercices sur les primitives](/practice-problems/antiderivatives) et les [exercices sur les intégrales définies](/practice-problems/definite-integrals).

## Questions fréquentes

### Quelle est l'intégrale de x² ?

L'intégrale de $x^2$ est $\frac{x^3}{3} + C$. On passe l'exposant de $2$ à $3$, puis on divise par $3$.

### Combien vaut l'intégrale de x² entre 0 et 1 ?

Elle vaut $\frac{1^3}{3} - 0 = \frac{1}{3}$.

### Quelle est l'intégrale de 3x² ?

C'est $x^3 + C$, car $3\cdot\frac{x^3}{3} = x^3$.

### L'intégrale de x² est-elle égale au carré de l'intégrale de x ?

Non. $\left(\frac{x^2}{2}\right)^2 = \frac{x^4}{4}$, ce qui n'est pas $\frac{x^3}{3}$. On ne peut pas élever au carré l'intégrale de $x$ pour obtenir celle de $x^2$.