# Intégrale de x cos x : formule, méthode et exemples

> L'intégrale de x cos x vaut x sin x + cos x + C. L'intégration par parties pas à pas, la vérification, un graphique, des intégrales définies et x² cos x.

Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-de-x-cos-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x + C $$

## En bref

- **Primitive:** $x\sin x + \cos x + C$
- **Méthode:** Intégration par parties avec $u = x$, $dv = \cos x\,dx$
- **De 0 à π/2:** $\frac{\pi}{2} - 1 \approx 0.571$
- **De 0 à π:** $-2$
- **Avec cos(kx):** $\int x\cos kx\,dx = \frac{x}{k}\sin kx + \frac{1}{k^2}\cos kx + C$

## À retenir

- L'intégrale de $x\cos x$ est $x\sin x + \cos x + C$.
- On intègre par parties avec $u = x$ et $dv = \cos x\,dx$, donc $v = \sin x$.
- L'intégrale restante vaut $-\int\sin x\,dx = +\cos x$, donc les deux termes sont positifs.
- On répète l'intégration par parties une fois de plus pour $x^2\cos x$, ou on utilise la méthode du tableau.

L'**intégrale de $x\cos x$ est $x\sin x + \cos x + C$**. Comme $x\sin x$, c'est une puissance de $x$ multipliée par une fonction trigonométrique, et une intégration par parties avec $u = x$ la règle en une étape.

$$\int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x + C$$

## Graphique de x cos x et de sa primitive

```graph
title: 'y = x cos x et sa primitive x sin x + cos x'
caption: 'L''aire hachurée de $0$ à $\frac{\pi}{2}$ vaut $\frac{\pi}{2} - 1 \approx 0.571$. La primitive en pointillés a ses sommets et ses creux exactement là où $x\cos x$ s''annule.'
x: [-1, 7]
y: [-5.5, 7]
functions:
  - expr: x*cos(x)
    label: y = x cos x
  - expr: x*sin(x) + cos(x)
    label: y = x sin x + cos x (primitive)
    dashed: true
shade:
  expr: x*cos(x)
  from: 0
  to: 1.5708
points:
  - [1.5708, 0, '(π/2, 0)']
```

## Comment intégrer x cos x pas à pas

On utilise l'[intégration par parties](/rules/integration-by-parts-rule), $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.

1. **Choisir les facteurs.** $u = x$ et $dv = \cos x\,dx$.
2. **Trouver $du$ et $v$.** $du = dx$ et $v = \sin x$, d'après l'[intégrale de cos x](/integrals/cos-x).
3. **Appliquer la formule.**
$$\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int\sin x\,dx$$
4. **Terminer.** $\int\sin x\,dx = -\cos x$, et en le soustrayant on obtient $+\cos x$ :
$$\int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x + C$$

$u = x$ est le bon choix car sa dérivée vaut $1$, ce qui fait disparaître le $x$. Choisir $u = \cos x$ ferait monter la puissance à $x^2$.

## Vérification par dérivation

$$\frac{d}{dx}\left(x\sin x + \cos x\right) = \sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x$$

Le $\sin x$ issu de la [règle du produit](/rules/product-rule) compense le $-\sin x$ issu de $\cos x$.

## Intégrales définies

Notons $F(x) = x\sin x + \cos x$.

| Intégrale | Calcul | Valeur |
| --- | --- | --- |
| $\int_0^{\pi/2} x\cos x\,dx$ | $\left(\frac{\pi}{2} + 0\right) - (0 + 1)$ | $\frac{\pi}{2} - 1$ |
| $\int_0^{\pi} x\cos x\,dx$ | $(0 - 1) - (0 + 1)$ | $-2$ |
| $\int_{\pi/2}^{3\pi/2} x\cos x\,dx$ | $\left(-\frac{3\pi}{2}\right) - \frac{\pi}{2}$ | $-2\pi$ |
| $\int_{-a}^{a} x\cos x\,dx$ | fonction impaire | $0$ |

La dernière ligne utilise la symétrie : $x\cos x$ est impaire (une fonction impaire multipliée par une fonction paire), donc les aires des deux côtés se compensent.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : un angle multiplié.** $\int x\cos 3x\,dx$. Avec $u = x$ et $v = \frac{1}{3}\sin 3x$ :

$$\frac{x}{3}\sin 3x - \frac{1}{3}\int\sin 3x\,dx = \frac{x}{3}\sin 3x + \frac{1}{9}\cos 3x + C$$

**Exemple 2 : x au carré.** $\int x^2\cos x\,dx$. Premier passage avec $u = x^2$, $v = \sin x$ :

$$\int x^2\cos x\,dx = x^2\sin x - 2\int x\sin x\,dx$$

L'[intégrale de x sin x](/integrals/x-sin-x) vaut $\sin x - x\cos x$, donc

$$\int x^2\cos x\,dx = x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C$$

**Exemple 3 : un facteur affine.** $\int(2x - 1)\cos x\,dx$. Avec $u = 2x - 1$, $du = 2\,dx$ :

$$(2x-1)\sin x - 2\int\sin x\,dx = (2x - 1)\sin x + 2\cos x + C$$

**Exemple 4 : un coefficient de Fourier.** Dans les séries de Fourier, on rencontre des intégrales comme $\int_{-\pi}^{\pi}x\cos(nx)\,dx$. La fonction est impaire, donc le résultat est $0$ pour tout entier $n$, sans intégration par parties.

**Exemple 5 : un produit caché.** $\int x\cos^2 x\,dx$. On écrit $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ (voir l'[intégrale de cos²x](/integrals/cos-squared-x)), puis

$$\int\frac{x}{2}\,dx + \frac{1}{2}\int x\cos 2x\,dx = \frac{x^2}{4} + \frac{x}{4}\sin 2x + \frac{1}{8}\cos 2x + C$$

## Erreurs fréquentes

1. **Écrire $x\sin x - \cos x$.** Le reste vaut $-\int\sin x\,dx = -(-\cos x) = +\cos x$.
2. **La confondre avec $x\sin x$.** Ici $v = \sin x$ sans changement de signe ; pour $x\sin x$, $v = -\cos x$.
3. **Intégrer facteur par facteur.** $\frac{x^2}{2}\sin x$ n'est pas le résultat ; dérivez-le pour voir pourquoi.
4. **Oublier le $\frac{1}{k^2}$** dans le second terme quand l'angle est $kx$.

Pour vous entraîner davantage, essayez les [exercices sur l'intégration par parties](/practice-problems/integration-by-parts).

## Questions fréquentes

### Quelle est l'intégrale de x cos x ?

C'est $x\sin x + \cos x + C$.

### Combien vaut l'intégrale de x cos x entre 0 et π ?

Elle vaut $-2$. La primitive vaut $\pi\cdot 0 + \cos\pi = -1$ en $\pi$ et $0 + \cos 0 = 1$ en $0$, donc le résultat est $-1 - 1 = -2$.

### Quelle est l'intégrale de x² cos x ?

C'est $x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C$. On intègre deux fois par parties, en commençant par $u = x^2$.

### Quelle est l'intégrale de x cos(3x) ?

C'est $\frac{x}{3}\sin 3x + \frac{1}{9}\cos 3x + C$.