# Intégrale de x eˣ : formule, méthode et exemples

> L'intégrale de x eˣ vaut (x − 1)eˣ + C. L'intégration par parties pas à pas, pourquoi u = x est le bon choix, un graphique et des exemples comme x e^(2x).

Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-de-x-e-puissance-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int x e^x\,dx = (x - 1)e^x + C $$

## En bref

- **Primitive:** $(x-1)e^x + C$
- **Méthode:** Intégration par parties avec $u = x$, $dv = e^x\,dx$
- **De 0 à 1:** $1$
- **Avec e^(kx):** $\int xe^{kx}\,dx = \left(\frac{x}{k} - \frac{1}{k^2}\right)e^{kx} + C$

## À retenir

- L'intégrale de $xe^x$ est $xe^x - e^x + C = (x-1)e^x + C$.
- On intègre par parties avec $u = x$. En dérivant $x$, il disparaît, et $e^x$ est facile à intégrer.
- Choisir $u = e^x$ rend l'intégrale restante plus difficile, et non plus simple.
- Pour $e^{kx}$, le résultat est $\left(\frac{x}{k} - \frac{1}{k^2}\right)e^{kx} + C$.

L'**intégrale de $xe^x$ est $(x - 1)e^x + C$**. C'est le premier exemple classique d'intégration par parties : une puissance de $x$ multipliée par une exponentielle.

$$\int x e^x\,dx = xe^x - e^x + C = (x-1)e^x + C$$

## Graphique de x eˣ et de sa primitive

```graph
title: 'y = x eˣ et sa primitive (x − 1)eˣ'
caption: 'L''aire hachurée de $0$ à $1$ vaut exactement $1$. La primitive en pointillés a son minimum en $x = 0$, où $xe^x$ passe du négatif au positif.'
x: [-4, 1.4]
y: [-1.5, 5]
functions:
  - expr: x*e^x
    label: y = x eˣ
  - expr: (x-1)*e^x
    label: y = (x − 1)eˣ (primitive)
    dashed: true
shade:
  expr: x*e^x
  from: 0
  to: 1
points:
  - [0, -1, '(0, −1)']
  - [1, 2.718, '(1, e)']
```

## Comment intégrer x eˣ pas à pas

La formule d'[intégration par parties](/rules/integration-by-parts-rule) est $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.

1. **Choisir les facteurs.** Posons $u = x$ et $dv = e^x\,dx$.
2. **Trouver $du$ et $v$.** $du = dx$ et $v = e^x$.
3. **Appliquer la formule.**
$$\int xe^x\,dx = xe^x - \int e^x\,dx$$
4. **Terminer l'intégrale facile.** $\int e^x\,dx = e^x$, donc
$$\int xe^x\,dx = xe^x - e^x + C = (x-1)e^x + C$$

**Pourquoi $u = x$ ?** Le but est d'obtenir une intégrale restante plus simple. En dérivant $x$, on obtient $1$, donc le $x$ disparaît en une étape. La règle LIATE (Logarithme, Inverse trigonométrique, Algébrique, Trigonométrique, Exponentielle) dit la même chose : l'algébrique passe avant l'exponentielle, donc $x$ est $u$.

**Et si on choisit l'inverse ?** Avec $u = e^x$ et $dv = x\,dx$, on obtient $\frac{x^2}{2}e^x - \int\frac{x^2}{2}e^x\,dx$. La puissance de $x$ a augmenté, le problème s'est aggravé.

## Vérification par dérivation

$$\frac{d}{dx}\Big((x-1)e^x\Big) = 1\cdot e^x + (x-1)e^x = xe^x$$

La [règle du produit](/rules/product-rule) redonne exactement la fonction de départ. La page [dérivée de x eˣ](/derivatives/x-e-to-the-x) montre le sens direct.

## Intégrales définies

**De 0 à 1 :**

$$\int_0^1 xe^x\,dx = \Big[(x-1)e^x\Big]_0^1 = 0\cdot e - (-1)\cdot 1 = 1$$

**De −∞ à 0 :** quand $x \to -\infty$, $(x-1)e^x \to 0$ car l'exponentielle l'emporte. Donc

$$\int_{-\infty}^{0} xe^x\,dx = (0 - 1)e^0 - 0 = -1$$

Le résultat est négatif car $xe^x < 0$ pour $x < 0$.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : une exponentielle plus rapide.** $\int xe^{2x}\,dx$. Posons $u = x$, $dv = e^{2x}\,dx$, donc $v = \frac{1}{2}e^{2x}$ :

$$\int xe^{2x}\,dx = \frac{x}{2}e^{2x} - \frac{1}{2}\int e^{2x}\,dx = \frac{x}{2}e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C$$

En général, $\int xe^{kx}\,dx = \left(\frac{x}{k} - \frac{1}{k^2}\right)e^{kx} + C$.

**Exemple 2 : décroissance.** Avec $k = -1$, la formule générale donne $\int xe^{-x}\,dx = (-x - 1)e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x} + C$. De $0$ à $\infty$, cela vaut $0 - (-1) = 1$. C'est le temps d'attente moyen de la loi exponentielle de paramètre $1$.

**Exemple 3 : un facteur affine.** $\int(3x + 2)e^x\,dx$. Avec $u = 3x + 2$, $du = 3\,dx$ :

$$(3x+2)e^x - 3e^x + C = (3x - 1)e^x + C$$

**Exemple 4 : une puissance plus élevée.** Pour $x^2e^x$, on intègre deux fois par parties. Le résultat est $(x^2 - 2x + 2)e^x + C$, détaillé sur la page [intégrale de x² eˣ](/integrals/x-squared-e-to-the-x).

## Erreurs fréquentes

1. **Intégrer facteur par facteur.** $\int xe^x\,dx \ne \frac{x^2}{2}e^x$. L'intégrale d'un produit n'est pas le produit des intégrales.
2. **Choisir $u = e^x$.** L'intégrale restante contient alors $x^2$, ce qui est plus difficile.
3. **Une erreur de signe à la dernière étape.** C'est $xe^x - \int e^x\,dx$, donc le terme $e^x$ est soustrait. Vérifiez en dérivant.
4. **Oublier le $\frac{1}{k}$ pour $e^{kx}$.** Avec $e^{2x}$, $v = \frac{1}{2}e^{2x}$, et non $e^{2x}$.

Pour vous entraîner davantage, voir le [guide de l'intégration par parties](/blog/integration-by-parts) et les [exercices sur l'intégration par parties](/practice-problems/integration-by-parts).

## Questions fréquentes

### Quelle est l'intégrale de x eˣ ?

C'est $(x - 1)e^x + C$, ou $xe^x - e^x + C$.

### Quelle est l'intégrale de x e^(2x) ?

C'est $\frac{x}{2}e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C$. On intègre par parties avec $u = x$ et $dv = e^{2x}\,dx$, donc $v = \frac{1}{2}e^{2x}$.

### Quelle est l'intégrale de x e^(−x) ?

C'est $-(x+1)e^{-x} + C$. De $0$ à $\infty$, l'intégrale vaut $1$.

### Peut-on utiliser un changement de variable pour x eˣ ?

Non. Un changement de variable exige que la dérivée de l'intérieur apparaisse en facteur, et il n'y a pas de fonction intérieure ici. C'est un produit de deux fonctions sans lien, exactement le cas de l'intégration par parties.