# Intégrale de x ln x : formule, méthode et exemples

> L'intégrale de x ln x vaut (x²/2) ln x − x²/4 + C. L'intégration par parties avec u = ln x, la vérification, un graphique et la formule pour xⁿ ln x.

Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-de-x-ln-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C $$

## En bref

- **Primitive:** $\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$
- **Méthode:** Intégration par parties avec $u = \ln x$, $dv = x\,dx$
- **De 1 à e:** $\frac{e^2 + 1}{4} \approx 2.097$
- **De 0 à 1:** $-\frac{1}{4}$
- **Puissance quelconque:** $\int x^n\ln x\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\ln x - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} + C$, $n \ne -1$

## À retenir

- L'intégrale de $x\ln x$ est $\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$.
- Choisissez $u = \ln x$, et non $u = x$. On ne sait pas intégrer $\ln x$ facilement, mais sa dérivée est le simple $\frac{1}{x}$.
- La même méthode marche pour toute puissance : $\int x^n\ln x\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\ln x - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} + C$ pour $n \ne -1$.
- Pour $n = -1$, l'intégrale $\int\frac{\ln x}{x}\,dx = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$ se fait par changement de variable.

L'**intégrale de $x\ln x$ est $\dfrac{x^2}{2}\ln x - \dfrac{x^2}{4} + C$**. C'est le produit d'une puissance et d'un logarithme, donc l'outil est l'intégration par parties, avec le logarithme comme $u$.

$$\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$$

## Graphique de x ln x avec l'aire de 1 à e

```graph
title: 'y = x ln x, avec l''aire de 1 à e hachurée'
caption: 'L''aire hachurée vaut $\frac{e^2 + 1}{4} \approx 2.097$. Entre $0$ et $1$, la courbe passe sous l''axe, et cette petite région a une aire algébrique de $-\frac{1}{4}$.'
x: [-0.5, 3.5]
y: [-1, 4.5]
functions:
  - expr: x*ln(x)
    label: y = x ln x
    domain: [0.005, 3.5]
shade:
  expr: x*ln(x)
  from: 1
  to: 2.71828
points:
  - [1, 0, '(1, 0)']
  - [2.71828, 2.71828, '(e, e)']
```

## Comment intégrer x ln x pas à pas

On utilise l'[intégration par parties](/rules/integration-by-parts-rule) : $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.

1. **Choisir les facteurs.** $u = \ln x$ et $dv = x\,dx$. Les logarithmes viennent en premier dans LIATE.
2. **Trouver $du$ et $v$.** $du = \frac{1}{x}\,dx$ et $v = \frac{x^2}{2}$.
3. **Appliquer la formule.**
$$\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx$$
4. **Terminer.** $\frac{1}{2}\int x\,dx = \frac{x^2}{4}$, donc
$$\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$$

Le moment clé est l'étape 3 : le $\frac{1}{x}$ de $du$ simplifie une puissance de $x$ dans $v$, et il reste une simple puissance. C'est toujours le cas quand le logarithme joue le rôle de $u$.

## Vérification par dérivation

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\right) = x\ln x + \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x} - \frac{x}{2} = x\ln x + \frac{x}{2} - \frac{x}{2} = x\ln x$$

La page [dérivée de x ln x](/derivatives/x-ln-x) détaille le calcul dans le sens direct.

## Intégrales définies

**De 1 à e :**

$$\left[\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\right]_1^e = \left(\frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4}\right) - \left(0 - \frac{1}{4}\right) = \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^2+1}{4}$$

Cela vaut environ $2.097$.

**De 0 à 1 :** cette intégrale est [impropre](/blog/improper-integrals) en $0$ car $\ln x$ n'y est pas défini, mais $x^2\ln x \to 0$ quand $x \to 0^+$ :

$$\int_0^1 x\ln x\,dx = \left(0 - \frac{1}{4}\right) - 0 = -\frac{1}{4}$$

## La puissance quelconque xⁿ ln x

Les mêmes étapes avec $dv = x^n\,dx$ et $v = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ donnent

$$\int x^n\ln x\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\ln x - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} + C, \qquad n \ne -1$$

| Intégrale | Résultat |
| --- | --- |
| $\int\ln x\,dx$ ($n = 0$) | $x\ln x - x + C$ |
| $\int x^2\ln x\,dx$ | $\frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C$ |
| $\int\sqrt{x}\ln x\,dx$ | $\frac{2}{3}x^{3/2}\ln x - \frac{4}{9}x^{3/2} + C$ |
| $\int\frac{\ln x}{x^2}\,dx$ ($n = -2$) | $-\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} + C$ |

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : un cube.** $\int x^3\ln x\,dx = \frac{x^4}{4}\ln x - \frac{x^4}{16} + C$, d'après la formule générale avec $n = 3$.

**Exemple 2 : le logarithme d'une puissance.** $\int x\ln(x^2)\,dx$. On utilise $\ln(x^2) = 2\ln x$ pour $x > 0$ :

$$2\int x\ln x\,dx = x^2\ln x - \frac{x^2}{2} + C$$

**Exemple 3 : le cas n = −1.** $\int\frac{\ln x}{x}\,dx$ met la formule en défaut (elle diviserait par zéro). On pose plutôt $u = \ln x$, $du = \frac{dx}{x}$ : $\int u\,du = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$.

**Exemple 4 : un logarithme au carré.** $\int x(\ln x)^2\,dx$. Par parties avec $u = (\ln x)^2$, $dv = x\,dx$, on obtient $\frac{x^2}{2}(\ln x)^2 - \int x\ln x\,dx$, que vous connaissez maintenant :

$$\frac{x^2}{2}(\ln x)^2 - \frac{x^2}{2}\ln x + \frac{x^2}{4} + C$$

## Erreurs fréquentes

1. **Choisir $u = x$.** Il faut alors $\int\ln x\,dx$ pour trouver $v$, et l'intégrale restante est plus difficile que celle de départ.
2. **Oublier de simplifier $\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}$.** Cela vaut $\frac{x}{2}$, qui s'intègre en $\frac{x^2}{4}$, et non $\frac{x^2}{2}$.
3. **Intégrer les facteurs séparément.** $\frac{x^2}{2}(x\ln x - x)$ n'est pas le résultat.
4. **Utiliser la formule générale avec $n = -1$.** Voir l'exemple 3.

Pages associées : l'[intégrale de ln x](/integrals/ln-x), l'[intégrale de x eˣ](/integrals/x-e-to-the-x) et le [guide de l'intégration par parties](/blog/integration-by-parts).

## Questions fréquentes

### Quelle est l'intégrale de x ln x ?

C'est $\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$, que l'on peut aussi écrire $\frac{x^2}{4}(2\ln x - 1) + C$.

### Quelle est l'intégrale de x² ln x ?

C'est $\frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C$. On intègre par parties avec $u = \ln x$ et $dv = x^2\,dx$.

### Combien vaut l'intégrale de x ln x entre 0 et 1 ?

Elle vaut $-\frac{1}{4}$. À la borne inférieure, $\frac{x^2}{2}\ln x \to 0$ quand $x \to 0^+$, il ne reste donc que $-\frac{1}{4}$ venant de la borne supérieure.

### Pourquoi choisir u = ln x et pas u = x ?

Avec $u = x$, il faudrait $v = \int\ln x\,dx = x\ln x - x$, et l'intégrale restante deviendrait plus compliquée. Avec $u = \ln x$, $du = \frac{1}{x}dx$ simplifie une puissance de $x$ et laisse une simple puissance à intégrer.