# Intégrale de x sin x : formule, méthode et exemples

> L'intégrale de x sin x vaut sin x − x cos x + C. L'intégration par parties pas à pas, la vérification, un graphique et des exemples comme x² sin x.

Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-de-x-sin-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int x\sin x\,dx = \sin x - x\cos x + C $$

## En bref

- **Primitive:** $\sin x - x\cos x + C$
- **Méthode:** Intégration par parties avec $u = x$, $dv = \sin x\,dx$
- **De 0 à π:** $\pi$
- **De 0 à π/2:** $1$
- **Avec sin(kx):** $\int x\sin kx\,dx = -\frac{x}{k}\cos kx + \frac{1}{k^2}\sin kx + C$

## À retenir

- L'intégrale de $x\sin x$ est $\sin x - x\cos x + C$.
- On intègre par parties avec $u = x$ et $dv = \sin x\,dx$, donc $v = -\cos x$.
- Attention aux signes : $v = -\cos x$, et soustraire $\int -\cos x\,dx$ donne $+\sin x$.
- Les bosses de $x\sin x$ ont pour aires $\pi$, $3\pi$, $5\pi$, etc., avec des signes alternés.

L'**intégrale de $x\sin x$ est $\sin x - x\cos x + C$**. C'est une puissance de $x$ multipliée par une fonction trigonométrique : un problème classique d'intégration par parties.

$$\int x\sin x\,dx = \sin x - x\cos x + C$$

## Graphique de x sin x

```graph
title: 'y = x sin x, avec l''aire de 0 à π hachurée'
caption: 'La bosse hachurée a une aire d''exactement $\pi$. La bosse suivante, de $\pi$ à $2\pi$, est sous l''axe avec une aire algébrique de $-3\pi$, et chaque bosse suivante grandit de $2\pi$.'
x: [-1, 7]
y: [-5.5, 3]
functions:
  - expr: x*sin(x)
    label: y = x sin x
shade:
  expr: x*sin(x)
  from: 0
  to: 3.14159
points:
  - [3.14159, 0, '(π, 0)']
  - [6.28319, 0, '(2π, 0)']
```

## Comment intégrer x sin x pas à pas

La formule d'[intégration par parties](/rules/integration-by-parts-rule) est $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.

1. **Choisir les facteurs.** $u = x$ et $dv = \sin x\,dx$. L'algébrique passe avant la trigonométrie dans LIATE.
2. **Trouver $du$ et $v$.** $du = dx$ et $v = -\cos x$, d'après l'[intégrale de sin x](/integrals/sin-x).
3. **Appliquer la formule.**
$$\int x\sin x\,dx = x(-\cos x) - \int(-\cos x)\,dx = -x\cos x + \int\cos x\,dx$$
4. **Terminer.** $\int\cos x\,dx = \sin x$, donc
$$\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \sin x + C$$

Si vous choisissez plutôt $u = \sin x$ et $dv = x\,dx$, l'intégrale restante est $\int\frac{x^2}{2}\cos x\,dx$, avec une puissance plus élevée. C'est le signe qu'il faut inverser.

## Vérification par dérivation

$$\frac{d}{dx}\left(\sin x - x\cos x\right) = \cos x - \left(\cos x - x\sin x\right) = x\sin x$$

Les termes en $\cos x$ se compensent, et la [règle du produit](/rules/product-rule) appliquée à $x\cos x$ fournit le $x\sin x$.

## Intégrales définies

Notons $F(x) = \sin x - x\cos x$.

| Intégrale | Calcul | Valeur |
| --- | --- | --- |
| $\int_0^{\pi/2} x\sin x\,dx$ | $F\!\left(\frac{\pi}{2}\right) - F(0) = 1 - 0$ | $1$ |
| $\int_0^{\pi} x\sin x\,dx$ | $F(\pi) - F(0) = \pi - 0$ | $\pi$ |
| $\int_\pi^{2\pi} x\sin x\,dx$ | $F(2\pi) - F(\pi) = -2\pi - \pi$ | $-3\pi$ |
| $\int_0^{2\pi} x\sin x\,dx$ | $F(2\pi) - F(0)$ | $-2\pi$ |

En général, la bosse de $k\pi$ à $(k+1)\pi$ a une aire de $(2k+1)\pi$, de signe $(-1)^k$. L'aire totale (non algébrique) de $0$ à $2\pi$ vaut $\pi + 3\pi = 4\pi$.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : un angle multiplié.** $\int x\sin 2x\,dx$. Avec $u = x$, $dv = \sin 2x\,dx$, $v = -\frac{1}{2}\cos 2x$ :

$$-\frac{x}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}\int\cos 2x\,dx = -\frac{x}{2}\cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x + C$$

**Exemple 2 : x au carré, avec la méthode du tableau.** Pour $\int x^2\sin x\,dx$, on dérive $x^2$ jusqu'à obtenir $0$ et on intègre $\sin x$ en parallèle, avec des signes alternés :

| Signe | Dériver | Intégrer |
| --- | --- | --- |
| $+$ | $x^2$ | $\sin x$ |
| $-$ | $2x$ | $-\cos x$ |
| $+$ | $2$ | $-\sin x$ |
| | $0$ | $\cos x$ |

On multiplie le long des diagonales :

$$\int x^2\sin x\,dx = -x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C$$

**Exemple 3 : un volume.** En faisant tourner la première bosse de $y = \sin x$ (de $0$ à $\pi$) autour de l'axe des $y$, la méthode des coquilles cylindriques donne

$$V = 2\pi\int_0^\pi x\sin x\,dx = 2\pi\cdot\pi = 2\pi^2$$

Voir le [guide des volumes de révolution](/blog/volumes-of-revolution) pour la mise en place.

**Exemple 4 : un angle décalé.** $\int x\sin(x + 1)\,dx = \sin(x+1) - x\cos(x+1) + C$, car l'intérieur a une pente de $1$.

## Erreurs fréquentes

1. **Se tromper sur $v$.** $\int\sin x\,dx = -\cos x$, et non $\cos x$. La plupart des erreurs sur ce problème sont des erreurs de signe.
2. **Perdre la double négation.** $-\int(-\cos x)\,dx = +\int\cos x\,dx$.
3. **Choisir $u = \sin x$.** L'intégrale restante contient alors $x^2$.
4. **Oublier $\frac{1}{k}$ et $\frac{1}{k^2}$** avec $\sin kx$. Dérivez votre résultat pour vérifier.

Comparez avec l'[intégrale de x cos x](/integrals/x-cos-x), qui suit les mêmes étapes avec d'autres signes. Le [guide de l'intégration par parties](/blog/integration-by-parts) propose davantage d'entraînement.

## Questions fréquentes

### Quelle est l'intégrale de x sin x ?

C'est $\sin x - x\cos x + C$.

### Combien vaut l'intégrale de x sin x entre 0 et π ?

Elle vaut $\pi$. La primitive vaut $\sin\pi - \pi\cos\pi = \pi$ à la borne supérieure et $0$ à la borne inférieure.

### Quelle est l'intégrale de x² sin x ?

C'est $-x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C$. On intègre deux fois par parties, ou on utilise la méthode du tableau.

### Quelle est l'intégrale de x sin(2x) ?

C'est $-\frac{x}{2}\cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x + C$. On intègre par parties avec $u = x$ et $v = -\frac{1}{2}\cos 2x$.