# Intégrale de x/(x² + 1) : formule, méthode et exemples

> L'intégrale de x/(x² + 1) vaut ½ ln(x² + 1) + C. Le changement de variable pas à pas, pourquoi la valeur absolue est inutile, et 1/(x² + 1).

Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-de-x-sur-x-carre-plus-1
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C $$

## En bref

- **Primitive:** $\dfrac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C$
- **Méthode:** Changement de variable avec $u = x^2 + 1$
- **Valeur absolue:** Inutile, car $x^2 + 1 > 0$
- **Intervalle symétrique:** $\int_{-a}^{a}\dfrac{x}{x^2 + 1}\,dx = 0$
- **À comparer:** $\int \dfrac{1}{x^2 + 1}\,dx = \arctan x + C$

## À retenir

- L'intégrale de $\frac{x}{x^2 + 1}$ est $\frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C$.
- Le numérateur $x$ est la moitié de la dérivée du dénominateur, donc on pose $u = x^2 + 1$.
- La valeur absolue est inutile, car $x^2 + 1$ est toujours positif.
- Ne la confondez pas avec $\int\frac{1}{x^2 + 1}\,dx = \arctan x + C$, qui n'a pas de $x$ au numérateur.

L'**intégrale de $\dfrac{x}{x^2 + 1}$ est $\dfrac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C$**. C'est l'exemple type d'un [changement de variable](/rules/u-substitution-rule) qui aboutit à un logarithme.

$$\int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C$$

## Graphique de x/(x² + 1) et de sa primitive

```graph
title: 'Aire sous y = x/(x² + 1) de 0 à 2, avec la primitive y = ½ ln(x² + 1)'
caption: 'L''aire hachurée vaut $\frac{1}{2}\ln 5 \approx 0.805$. La fonction est impaire et sa primitive est paire : la courbe en pointillés est symétrique par rapport à l''axe des $y$, avec un minimum en $x = 0$.'
x: [-4, 4]
y: [-1, 1.6]
functions:
  - expr: x/(x^2 + 1)
    label: y = x/(x² + 1)
  - expr: ln(x^2 + 1)/2
    label: y = ½ ln(x² + 1) (primitive)
    dashed: true
shade: {expr: x/(x^2 + 1), from: 0, to: 2}
points:
  - [1, 0.5, 'max (1, 1/2)']
```

## Le changement de variable pas à pas

1. Remarquer que la dérivée du dénominateur, $2x$, correspond au numérateur à une constante près.
2. Poser $u = x^2 + 1$. Alors $du = 2x\,dx$, donc $x\,dx = \frac{1}{2}du$.
3. Réécrire : $\displaystyle\int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\int\frac{1}{u}\,du$.
4. Intégrer avec l'[intégrale de 1/x](/integrals/1-over-x) : $\frac{1}{2}\ln\lvert u\rvert + C$.
5. Revenir à la variable de départ : $\frac{1}{2}\ln\lvert x^2 + 1\rvert + C$.
6. Comme $x^2 + 1 \ge 1 > 0$, on enlève les barres : $\frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C$.

Le schéma général est $\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln\lvert f(x)\rvert + C$. Ici le numérateur vaut $\frac{1}{2}f'(x)$, d'où le facteur $\frac{1}{2}$.

## Vérification par dérivation

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}\ln(x^2 + 1)\right] = \frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{x^2 + 1} = \frac{x}{x^2 + 1} \checkmark$$

## Intégrales définies

**Exemple 1.** $\int_0^1 \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln 2 \approx 0.347$.

**Exemple 2.** $\int_{-3}^{3}\frac{x}{x^2 + 1}\,dx = 0$. La fonction est impaire, donc l'aire à gauche compense l'aire à droite.

**Exemple 3 : changer les bornes.** Avec $u = x^2 + 1$, les bornes $x = 0$ et $x = 2$ deviennent $u = 1$ et $u = 5$ :

$$\int_0^2 \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\int_1^5\frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln 5$$

## Intégrales voisines

De petites modifications de la fonction changent complètement la méthode :

| Intégrale | Méthode | Résultat |
| --- | --- | --- |
| $\int\frac{x}{x^2 + 1}\,dx$ | $u = x^2 + 1$ | $\frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C$ |
| $\int\frac{1}{x^2 + 1}\,dx$ | formule connue | $\arctan x + C$ |
| $\int\frac{x}{(x^2 + 1)^2}\,dx$ | $u = x^2 + 1$ | $-\frac{1}{2(x^2 + 1)} + C$ |
| $\int\frac{x}{x^2 + a^2}\,dx$ | $u = x^2 + a^2$ | $\frac{1}{2}\ln(x^2 + a^2) + C$ |
| $\int\frac{x^3}{x^2 + 1}\,dx$ | division d'abord | $\frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C$ |

Pour la dernière ligne, la division euclidienne donne $\frac{x^3}{x^2 + 1} = x - \frac{x}{x^2 + 1}$.

**Exemple 4 : séparer le numérateur.** 

$$\int\frac{2x + 3}{x^2 + 1}\,dx = \int\frac{2x}{x^2 + 1}\,dx + 3\int\frac{1}{x^2 + 1}\,dx = \ln(x^2 + 1) + 3\arctan x + C$$

Le second morceau utilise l'[intégrale de 1/(1 + x²)](/integrals/1-over-1-plus-x-squared).

## Erreurs fréquentes

1. **Oublier le $\frac{1}{2}$.** $du = 2x\,dx$, donc $x\,dx$ n'est que la moitié de $du$.
2. **Répondre $\arctan x$.** C'est l'intégrale de $\frac{1}{x^2 + 1}$, sans le $x$ au numérateur.
3. **Écrire $\ln\lvert x\rvert\cdot\ln\lvert x^2 + 1\rvert$** ou séparer la fraction en $\frac{x}{x^2} + \frac{x}{1}$. On ne peut pas séparer une fraction dont le dénominateur est une somme.
4. **Intégrer $\frac{x}{x^2 - 1}$ de la même façon en enlevant les barres.** Celle-ci donne $\frac{1}{2}\ln\lvert x^2 - 1\rvert + C$, et la valeur absolue compte.

Pour vous entraîner : [exercices sur le changement de variable](/practice-problems/u-substitution).

## Questions fréquentes

### Quelle est l'intégrale de x/(x² + 1) ?

C'est $\frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C$. On pose $u = x^2 + 1$, donc $x\,dx = \frac{1}{2}du$.

### Quelle est l'intégrale de 2x/(x² + 1) ?

C'est $\ln(x^2 + 1) + C$. Le numérateur est exactement la dérivée du dénominateur, donc le résultat est le logarithme du dénominateur.

### Combien vaut l'intégrale de x/(x² + 1) entre 0 et 1 ?

Elle vaut $\frac{1}{2}\ln 2 - \frac{1}{2}\ln 1 = \frac{1}{2}\ln 2 \approx 0.347$.

### L'intégrale de x/(x² + 1) de 0 à l'infini converge-t-elle ?

Non. $\frac{1}{2}\ln(b^2 + 1) \to \infty$ quand $b \to \infty$, donc l'intégrale diverge. Pour $x$ grand, la fonction se comporte comme $\frac{1}{x}$.