# Intégrale de x : formule, démonstration et exemples

> L'intégrale de x vaut x²/2 + C. Pourquoi, avec la règle de la puissance inverse et un triangle, plus les intégrales définies, la forme ax + b et les erreurs.

Source : https://practicecalculus.com/fr/integrales/integrale-de-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C $$

## En bref

- **Primitive:** $\dfrac{x^2}{2} + C$
- **Règle utilisée:** Règle de la puissance inverse avec $n = 1$
- **Forme définie:** $\int_0^b x\,dx = \dfrac{b^2}{2}$
- **Intervalle symétrique:** $\int_{-a}^{a} x\,dx = 0$
- **Vérification:** $\dfrac{d}{dx}\dfrac{x^2}{2} = x$

## À retenir

- L'intégrale de $x$ est $\frac{x^2}{2} + C$ : on augmente l'exposant de un et on divise par le nouvel exposant.
- L'aire sous $y = x$ de $0$ à $b$ est un triangle d'aire $\frac{b^2}{2}$, ce qui correspond à la formule.
- L'intégrale de $2x$ est $x^2 + C$, car le $2$ compense la division par $2$.
- Sur un intervalle symétrique comme $[-1, 1]$, l'intégrale de $x$ vaut $0$ : l'aire sous l'axe compense l'aire au-dessus.

L'**intégrale de $x$ est $\dfrac{x^2}{2} + C$**. Elle découle directement de la règle de la puissance inverse : on ajoute un à l'exposant, puis on divise par le nouvel exposant.

$$\int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C$$

## Graphique de y = x et de sa primitive

```graph
title: 'Aire sous y = x de 0 à 2, avec la primitive y = x²/2'
caption: 'Le triangle hachuré a une base de $2$ et une hauteur de $2$, donc son aire vaut $2$. La courbe en pointillés $y = \frac{x^2}{2}$ atteint exactement $2$ en $x = 2$.'
x: [-2.5, 3]
y: [-2.5, 4]
functions:
  - expr: x
    label: y = x
  - expr: x^2/2
    label: y = x²/2 (primitive)
    dashed: true
shade: {expr: x, from: 0, to: 2}
points:
  - [2, 2, '(2, 2)']
```

La primitive $\frac{x^2}{2}$ est une parabole. Sa pente en chaque point est égale à la hauteur de la droite $y = x$ : pente $0$ à l'origine, pente $2$ en $x = 2$, et pentes négatives pour $x$ négatif.

## Démonstration pas à pas

1. Écrire $x$ comme une puissance : $x = x^1$.
2. Appliquer la [règle de la puissance inverse](/rules/reverse-power-rule), $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, avec $n = 1$.
3. Ajouter un à l'exposant : $x^{2}$.
4. Diviser par le nouvel exposant : $\frac{x^2}{2}$.
5. Ajouter la constante : $\frac{x^2}{2} + C$.

Il existe aussi une preuve par le dessin. La région sous $y = x$ de $0$ à $b$ est un triangle rectangle de base $b$ et de hauteur $b$, donc son aire vaut $\frac{1}{2}b\cdot b = \frac{b^2}{2}$. La fonction aire est $\frac{x^2}{2}$, et c'est exactement la primitive.

## Vérification par dérivation

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2} + C\right) = \frac{2x}{2} + 0 = x \checkmark$$

Le sens direct est traité sur la page [dérivée de x](/derivatives/x).

## Intégrales définies

$$\int_a^b x\,dx = \frac{b^2}{2} - \frac{a^2}{2} = \frac{b^2 - a^2}{2}$$

Par exemple, $\int_1^3 x\,dx = \frac{9 - 1}{2} = 4$. Cette région est un trapèze de côtés parallèles $1$ et $3$ et de largeur $2$, d'aire $\frac{1 + 3}{2}\cdot 2 = 4$. Même résultat.

Quand l'intervalle contient $0$, l'aire sous l'axe compte négativement : $\int_{-1}^{1} x\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$.

## La version affine : intégrale de ax + b

Pour une fonction affine $ax + b$, on peut intégrer terme à terme :

$$\int (ax + b)\,dx = \frac{ax^2}{2} + bx + C$$

Avec un [changement de variable](/rules/u-substitution-rule) $u = ax + b$, on obtient une deuxième forme :

$$\int (ax + b)\,dx = \frac{(ax + b)^2}{2a} + C$$

Les deux sont correctes. En développant la seconde, on obtient $\frac{ax^2}{2} + bx + \frac{b^2}{2a}$, qui ne diffère de la première que par la constante $\frac{b^2}{2a}$.

## Exemples corrigés

**Exemple 1.** $\int 6x\,dx = 6\cdot\frac{x^2}{2} + C = 3x^2 + C$.

**Exemple 2.** $\int (4x - 5)\,dx = 2x^2 - 5x + C$. Le $-5$ utilise l'[intégrale d'une constante](/integrals/constant).

**Exemple 3.** $\int_0^4 \frac{x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{16}{2} = 4$.

**Exemple 4 : valeur moyenne.** La moyenne de $f(x) = x$ sur $[0, 6]$ vaut $\frac{1}{6}\int_0^6 x\,dx = \frac{1}{6}\cdot 18 = 3$, le milieu de l'intervalle, comme on s'y attend pour une droite.

## Erreurs fréquentes

1. **Écrire $x^2 + C$.** Il faut diviser par le nouvel exposant. La dérivée de $x^2$ est $2x$, pas $x$.
2. **Trouver $1$.** C'est la dérivée de $x$, pas son intégrale.
3. **Oublier le $+ C$** dans une intégrale indéfinie.
4. **S'attendre à une aire toujours positive.** Une intégrale définie donne une aire algébrique. Utilisez $\int\lvert x\rvert\,dx$ pour l'aire totale ; voir l'[intégrale de |x|](/integrals/absolute-value-of-x).

Continuez avec l'[intégrale de x²](/integrals/x-squared), ou entraînez-vous avec les [exercices sur les primitives](/practice-problems/antiderivatives).

## Questions fréquentes

### Quelle est l'intégrale de x ?

L'intégrale de $x$ est $\frac{x^2}{2} + C$. Vérification : la dérivée de $\frac{x^2}{2}$ est $\frac{2x}{2} = x$.

### Quelle est l'intégrale de 2x ?

C'est $x^2 + C$. On sort le $2$ : $2\cdot\frac{x^2}{2} = x^2$.

### Combien vaut l'intégrale de x entre 0 et 1 ?

Elle vaut $\frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}$. C'est l'aire d'un triangle rectangle de côtés $1$ et $1$.

### Pourquoi l'intégrale de x entre -1 et 1 est-elle nulle ?

Parce que $y = x$ est une fonction impaire. Le triangle sous l'axe sur $[-1, 0]$ a une aire algébrique de $-\frac{1}{2}$ et compense le triangle au-dessus de l'axe sur $[0, 1]$.