# Changement de variable (intégrales) : formule, étapes et exemples

> Le changement de variable inverse la dérivation en chaîne : ∫f(g(x))g′(x)dx = ∫f(u)du. Formule, choix de u, bornes des intégrales définies et exemples.

Source : https://practicecalculus.com/fr/regles/changement-de-variable
Mis à jour : 2026-11-03

$$ \int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \quad u = g(x) $$

## En bref

- **Inverse:** La règle de dérivation en chaîne
- **À utiliser quand:** La fonction à intégrer contient une fonction intérieure $g(x)$ et, à une constante près, sa dérivée $g'(x)$
- **Étape clé:** Poser $u = g(x)$ et remplacer $dx$ grâce à $du = g'(x)\,dx$
- **Intégrales définies:** Changer les bornes en $u = g(a)$ et $u = g(b)$
- **Aussi appelé:** Intégration par substitution, méthode de substitution

## À retenir

- Le changement de variable est la dérivation en chaîne à l'envers : cherchez une fonction intérieure dont la dérivée apparaît aussi.
- Après substitution, l'intégrale ne doit contenir que $u$ et $du$, sans aucun $x$ restant.
- Un facteur constant manquant n'est pas un problème : on le corrige en multipliant et en divisant.
- Pour une intégrale définie, changez les bornes en valeurs de $u$ ou revenez à la variable d'origine avant d'évaluer.

Le **changement de variable** est la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) appliquée à l'envers. Lorsqu'une fonction à intégrer contient une fonction à l'intérieur d'une autre, accompagnée de la dérivée de cette fonction intérieure, un seul changement de variable la ramène à une intégrale usuelle.

## La formule du changement de variable

Si $u = g(x)$ est dérivable et si $f$ est continue, alors

$$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$$

L'astuce tient à la différentielle : de $u = g(x)$ on tire $du = g'(x)\,dx$, qui remplace d'un coup le facteur restant et le $dx$.

Pour une intégrale définie, les bornes changent avec la variable :

$$\int_a^b f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du$$

## Les étapes

1. **Choisir $u$** : la fonction intérieure d'une composée.
2. **Calculer $du$** : $du = g'(x)\,dx$, puis exprimer $dx$ ou le facteur dont on a besoin.
3. **Substituer** : réécrire toute l'intégrale en $u$. Il ne doit plus rester de $x$.
4. **Intégrer** en $u$ avec une règle de base comme la [primitive d'une puissance](/rules/reverse-power-rule).
5. **Revenir à la variable d'origine** avec $u = g(x)$, ou utiliser les nouvelles bornes pour une intégrale définie.

## Comment le repérer

| Forme de la fonction à intégrer | Bon choix de $u$ |
| --- | --- |
| $(\text{quelque chose})^n \cdot (\text{sa dérivée})$ | le quelque chose |
| $e^{g(x)}\,g'(x)$ | l'exposant $g(x)$ |
| $\sin(g(x))\,g'(x)$, $\cos(g(x))\,g'(x)$ | l'angle $g(x)$ |
| $\frac{g'(x)}{g(x)}$ | le dénominateur $g(x)$, ce qui donne $\ln\lvert g(x)\rvert$ |
| $f(ax + b)$ | l'expression affine intérieure $ax + b$ |

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : une puissance.** Pour $\int 2x\,(x^2 + 1)^5\,dx$, on pose $u = x^2 + 1$, donc $du = 2x\,dx$ :

$$\int u^5\,du = \frac{u^6}{6} + C = \frac{(x^2+1)^6}{6} + C$$

**Exemple 2 : corriger une constante.** Pour $\int x\,e^{x^2}\,dx$, on pose $u = x^2$, donc $du = 2x\,dx$ et $x\,dx = \frac{1}{2}du$ :

$$\int e^{u}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$$

**Exemple 3 : une expression affine à l'intérieur.** Pour $\int \cos(3x)\,dx$, on pose $u = 3x$, donc $dx = \frac{1}{3}du$ :

$$\int \cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin(3x) + C$$

**Exemple 4 : un logarithme apparaît.** Pour $\int \tan x\,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx$, on pose $u = \cos x$, donc $\sin x\,dx = -du$ :

$$\int -\frac{1}{u}\,du = -\ln\lvert \cos x\rvert + C$$

**Exemple 5 : une intégrale définie.** Pour $\int_0^1 2x\,(x^2+1)^3\,dx$, on pose $u = x^2 + 1$. Quand $x = 0$, $u = 1$ ; quand $x = 1$, $u = 2$ :

$$\int_1^2 u^3\,du = \left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2 = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$$

## Vérifier son résultat

Dérivez le résultat : vous devez retrouver la fonction à intégrer de départ, dérivée intérieure comprise. Pour l'exemple 1, la dérivation en chaîne donne

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{(x^2+1)^6}{6}\right] = (x^2+1)^5 \cdot 2x$$

ce qui correspond. Si la vérification diffère d'un facteur constant, vous avez probablement oublié d'ajuster $du$. Si elle diffère d'un facteur contenant $x$, le changement de variable n'était pas valable au départ : il faut un autre $u$ ou une autre technique.

## Erreurs fréquentes

1. **Laisser du $x$ dans l'intégrale.** Dans $\int x^2 e^{x^2}\,dx$ avec $u = x^2$, il reste un $x$ en trop impossible à éliminer. Le changement de variable échoue, et aucune constante n'y remédie.
2. **Oublier de remplacer $dx$.** $\int (2x+1)^3\,dx$ ne vaut pas $\frac{(2x+1)^4}{4} + C$. Avec $du = 2\,dx$, le résultat est $\frac{(2x+1)^4}{8} + C$.
3. **Mélanger les bornes.** Après le passage en $u$, utilisez les bornes en $u$. Remplacer les anciennes bornes en $x$ dans une expression en $u$ donne un résultat faux.
4. **Ne pas revenir à la variable d'origine.** Le résultat d'une intégrale indéfinie doit être exprimé en fonction de $x$.

## Sa place parmi les techniques

Le changement de variable est la première technique à essayer après les règles de base et la [linéarité](/rules/integral-linearity-rules). Si la fonction à intégrer est le produit de deux fonctions sans lien, comme $x\,e^{x}$, il n'y a pas de dérivée intérieure à faire apparaître et l'[intégration par parties](/rules/integration-by-parts-rule) est en général le bon outil. Pour une présentation pas à pas avec davantage d'exemples, lisez le guide complet sur le [changement de variable](/blog/u-substitution).

## Questions fréquentes

### Quelle est la formule du changement de variable ?

C'est la formule $\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$ avec $u = g(x)$. Elle transforme une intégrale issue de la dérivation en chaîne en une intégrale plus simple en $u$.

### Comment choisir u dans un changement de variable ?

Choisissez la partie intérieure d'une composée, par exemple l'expression à l'intérieur d'une puissance, d'une racine, d'une exponentielle ou d'une fonction trigonométrique, dont la dérivée apparaît aussi dans la fonction à intégrer à une constante près.

### Que faire si du diffère d'une constante ?

Ce n'est pas grave. Si $du = 3\,dx$ mais que l'intégrale ne contient que $dx$, écrivez $dx = \frac{1}{3}du$. Seul un écart d'une constante peut être corrigé ainsi, pas une variable manquante.

### Faut-il changer les bornes lors d'un changement de variable ?

Oui. Pour une intégrale définie, soit on convertit les bornes avec $u = g(a)$ et $u = g(b)$, soit on revient à $x$ avant d'utiliser les bornes d'origine. Il ne faut pas mélanger les deux.