# Critère de d'Alembert pour les séries : formule et exemples

> Le critère de d'Alembert : on calcule L = lim |a(n+1)/a(n)|. Si L < 1 la série converge absolument, si L > 1 elle diverge, et si L = 1 on ne conclut pas.

Source : https://practicecalculus.com/fr/regles/critere-de-d-alembert
Mis à jour : 2026-11-03

$$ L = \lim_{n\to\infty} \left\lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\rvert $$

## En bref

- **L < 1:** La série converge absolument
- **L > 1 ou L = ∞:** La série diverge
- **L = 1:** On ne peut pas conclure : utilisez un autre critère
- **Idéal pour:** Les factorielles, les exponentielles comme $3^n$, et leurs produits avec des puissances de $n$
- **Inefficace sur:** Les fractions rationnelles en $n$ et les séries de Riemann ($p$-séries), qui donnent toujours $L = 1$

## À retenir

- Calculez $L = \lim \left\lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\rvert$ et comparez-le à $1$.
- $L < 1$ signifie convergence absolue ; $L > 1$ signifie divergence ; $L = 1$ ne dit rien.
- Pensez au critère de d'Alembert dès que vous voyez des factorielles ou des puissances $n$-ièmes comme $2^n$.
- C'est l'outil standard pour trouver le rayon de convergence d'une série entière.

Le **critère de d'Alembert** (ou règle de d'Alembert) détermine si une série converge en regardant à quelle vitesse ses termes diminuent. Si, à partir d'un certain rang, chaque terme est plus petit que le précédent d'une fraction fixe, la série se comporte comme une [série géométrique](/rules/geometric-series-formula) convergente.

## Le critère de d'Alembert

Soit $\sum a_n$ une série à termes non nuls (au moins pour $n$ assez grand), et posons

$$L = \lim_{n\to\infty} \left\lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\rvert$$

| Valeur de $L$ | Conclusion |
| --- | --- |
| $L < 1$ | $\sum a_n$ converge absolument |
| $L > 1$ ou $L = \infty$ | $\sum a_n$ diverge |
| $L = 1$ | On ne peut pas conclure |

Si la limite n'existe pas et n'est pas $\infty$, le critère, sous cette forme, ne s'applique pas.

## Pourquoi ça marche

Si $L < 1$, choisissons un nombre $r$ tel que $L < r < 1$. Pour $n$ assez grand, chaque $\lvert a_{n+1}\rvert$ est au plus $r\lvert a_n\rvert$, donc le reste de $\sum \lvert a_n\rvert$ est majoré par une série géométrique de raison $r$, qui converge. Si $L > 1$, les termes finissent par croître en valeur absolue, donc ils ne peuvent pas tendre vers $0$, et le [critère du terme général](/rules/nth-term-test) donne la divergence.

## Comment l'appliquer

1. Écrivez $a_{n+1}$ en remplaçant chaque $n$ de $a_n$ par $n + 1$.
2. Formez $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ et simplifiez. Multipliez par l'inverse de la fraction du dénominateur.
3. Utilisez $\frac{(n+1)!}{n!} = n + 1$ et $\frac{c^{n+1}}{c^n} = c$ pour simplifier.
4. Prenez la limite de la valeur absolue et comparez-la à $1$.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : une puissance multipliée par une exponentielle.** Pour $\sum \frac{n}{2^n}$ :

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{2^{n+1}}\cdot\frac{2^n}{n} = \frac{n+1}{2n} \to \frac{1}{2}$$

Comme $L = \frac{1}{2} < 1$, la série converge.

**Exemple 2 : une factorielle.** Pour $\sum \frac{3^n}{n!}$ :

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{3^n} = \frac{3}{n+1} \to 0$$

$L = 0 < 1$, donc elle converge. (Sa somme vaut $e^3 - 1$ lorsqu'elle commence à $n = 1$.)

**Exemple 3 : divergence.** Pour $\sum \frac{n!}{10^n}$ :

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{10^{n+1}}\cdot\frac{10^n}{n!} = \frac{n+1}{10} \to \infty$$

La série diverge. La factorielle finit toujours par l'emporter sur n'importe quelle exponentielle.

**Exemple 4 : des signes alternés.** Pour $\sum \frac{(-2)^n}{n^2}$, la valeur absolue supprime le signe :

$$\left\lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\rvert = 2\cdot\frac{n^2}{(n+1)^2} \to 2$$

$L = 2 > 1$, donc la série diverge.

**Exemple 5 : on ne peut pas conclure.** Pour $\sum \frac{1}{n^2}$, $\frac{n^2}{(n+1)^2} \to 1$. Le critère de d'Alembert ne donne aucune réponse, pourtant la série converge : c'est une série de Riemann ($p$-série) avec $p = 2$.

## Rayon de convergence

Le critère de d'Alembert est l'outil principal pour les [séries entières](/blog/power-series). Pour $\sum \frac{x^n}{n}$ :

$$\left\lvert \frac{x^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{x^n} \right\rvert = \lvert x\rvert\,\frac{n}{n+1} \to \lvert x\rvert$$

La série converge lorsque $\lvert x\rvert < 1$, donc le rayon de convergence vaut $1$. Les bornes $x = \pm 1$ donnent $L = 1$ et doivent être étudiées séparément.

## Critère de d'Alembert ou critère de Cauchy

Le critère de Cauchy (ou règle de la racine) utilise $L = \lim \sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}$, avec les trois mêmes conclusions. Il est plus simple lorsque tout le terme est élevé à la puissance $n$, comme dans $\sum \left(\frac{2n}{3n+1}\right)^n$, où $\sqrt[n]{a_n} = \frac{2n}{3n+1} \to \frac{2}{3}$. Le critère de d'Alembert est plus simple en présence de factorielles, car elles n'ont pas de racine $n$-ième simple mais se simplifient très bien dans un quotient. Quand les deux s'appliquent, ils donnent le même $L$.

## Erreurs fréquentes

1. **L'utiliser sur des fractions rationnelles ou des racines en $n$.** Toute expression comme $\frac{n^2+1}{n^4}$ donne $L = 1$. Utilisez plutôt une comparaison ou les séries de Riemann ($p$-séries).
2. **Interpréter $L = 1$ comme une convergence ou une divergence.** Cela signifie que le critère a échoué.
3. **Inverser le quotient.** C'est $\frac{a_{n+1}}{a_n}$, le terme suivant divisé par le terme courant. Le quotient inversé change le sens du résultat.
4. **Se tromper dans le calcul des factorielles.** $(2(n+1))! = (2n+2)!$, qui vaut $(2n+2)(2n+1)\cdot(2n)!$, et non $2(n+1)!$.

Pour voir comment le critère de d'Alembert s'articule avec le critère de Cauchy, la comparaison et la comparaison série-intégrale, lisez le guide complet des [critères de convergence](/blog/convergence-tests).

## Questions fréquentes

### Qu'est-ce que le critère de d'Alembert ?

Il compare des termes consécutifs d'une série. Si $L = \lim \left\lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\rvert$ est strictement inférieur à $1$, la série converge absolument, s'il est strictement supérieur à $1$ (ou infini), la série diverge, et si $L = 1$, on ne peut pas conclure.

### Que se passe-t-il quand la limite du critère de d'Alembert vaut 1 ?

On ne peut rien conclure. $\sum \frac{1}{n}$ (divergente) et $\sum \frac{1}{n^2}$ (convergente) donnent toutes deux $L = 1$ : il faut un autre critère, comme la comparaison ou la comparaison série-intégrale.

### Quand utiliser le critère de d'Alembert ?

Utilisez-le quand les termes contiennent des factorielles, des exponentielles comme $5^n$, ou $n^n$. Ces expressions se simplifient bien quand on divise un terme par le précédent.

### Le critère de d'Alembert prouve-t-il la convergence absolue ou conditionnelle ?

Quand $L < 1$, il prouve la convergence absolue, qui est plus forte que la simple convergence. Il ne détecte jamais la semi-convergence, car les séries semi-convergentes donnent $L = 1$.