# Critère des séries alternées : conditions, majoration du reste > Le critère des séries alternées (critère de Leibniz) : si bₙ décroît vers 0, la série des (−1)ⁿbₙ converge. Conditions, majoration du reste et exemples. Source : https://practicecalculus.com/fr/regles/critere-des-series-alternees Mis à jour : 2026-11-03 $$ b_n \ge b_{n+1} > 0,\ \lim_{n\to\infty} b_n = 0 \;\Longrightarrow\; \sum (-1)^{n+1} b_n \text{ converge} $$ ## En bref - **Autre nom:** Le critère de Leibniz - **Condition 1:** Les termes sont de signe alterné : $\sum (-1)^{n+1} b_n$ avec $b_n > 0$ - **Condition 2:** $b_n$ est décroissante, au moins à partir d'un certain rang - **Condition 3:** $\lim_{n\to\infty} b_n = 0$ - **Majoration du reste:** $\lvert S - S_N\rvert \le b_{N+1}$ - **Ne permet pas de prouver:** La divergence, ni la convergence absolue ## À retenir - Une série alternée converge si les valeurs absolues $b_n$ décroissent et tendent vers $0$. - L'erreur commise après $N$ termes est au plus le terme suivant : $\lvert S - S_N\rvert \le b_{N+1}$. - Satisfaire le critère peut signifier une convergence seulement conditionnelle (semi-convergence), comme pour $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}$. - Si $b_n$ ne tend pas vers $0$, la série diverge d'après le critère du terme général. Le **critère des séries alternées** traite les séries dont les termes changent de signe, comme $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$. Si la valeur absolue des termes diminue régulièrement jusqu'à zéro, les sommes partielles oscillent de plus en plus près d'une limite, et la série converge. ## Le critère Supposons $b_n > 0$ pour tout $n$. La série $$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} b_n = b_1 - b_2 + b_3 - b_4 + \cdots$$ converge si les deux conditions suivantes sont vérifiées : 1. $b_{n+1} \le b_n$ pour tout $n$ (ou pour tout $n$ à partir d'un certain rang), et 2. $\lim_{n\to\infty} b_n = 0$. Le résultat est le même pour $\sum (-1)^n b_n$, qui ne fait que changer tous les signes. ## La majoration du reste Si les conditions sont vérifiées et si $S$ est la somme, la somme partielle $S_N$ est à moins d'un terme de la valeur exacte : $$\lvert S - S_N\rvert \le b_{N+1}$$ De plus, $S$ est toujours comprise entre deux sommes partielles consécutives. C'est la **majoration du reste des séries alternées**, qui rend ces séries faciles à approcher. ```graph title: 'Les sommes partielles de la série harmonique alternée oscillent vers ln 2' caption: 'Les sommes partielles d''indice impair sont au-dessus de $\ln 2 \approx 0.693$ et celles d''indice pair en dessous, avec un écart qui diminue à chaque étape.' x: [0, 9] y: [0.4, 1.1] functions: - expr: ln(2) label: y = ln 2 dashed: true points: - [1, 1, 'S1 = 1'] - [2, 0.5, 'S2 = 0,5'] - [3, 0.8333] - [4, 0.5833] - [5, 0.7833] - [6, 0.6167] - [7, 0.7595] - [8, 0.6345] ``` ## Pourquoi ça marche Comme les $b_n$ décroissent, chaque pas dépasse la limite de moins que le précédent. Les sommes partielles paires $S_2, S_4, S_6, \ldots$ croissent, les impaires $S_1, S_3, S_5, \ldots$ décroissent, et chaque somme paire reste inférieure à chaque somme impaire. Ces deux suites sont monotones et bornées, donc elles convergent, et comme $S_{2k+1} - S_{2k} = b_{2k+1} \to 0$, elles ont la même limite (ce sont des suites adjacentes). ## Exemples corrigés **Exemple 1 : la série harmonique alternée.** Pour $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}$, $b_n = \frac{1}{n}$ est positive, décroissante et tend vers $0$. La série converge (vers $\ln 2$). Comme $\sum \frac{1}{n}$ diverge, la convergence est **conditionnelle** : la série est semi-convergente. **Exemple 2 : la condition de limite n'est pas vérifiée.** Pour $\sum (-1)^n \frac{n}{n+1}$, $b_n = \frac{n}{n+1} \to 1 \ne 0$. Le critère des séries alternées ne s'applique pas, et le [critère du terme général](/rules/nth-term-test) montre que la série diverge. **Exemple 3 : vérifier la décroissance avec une dérivée.** Pour $\sum (-1)^{n+1}\frac{\ln n}{n}$ (à partir de $n = 2$), posons $f(x) = \frac{\ln x}{x}$. Alors $f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2} < 0$ pour $x > e$, donc $b_n$ décroît pour $n \ge 3$, et $\frac{\ln n}{n} \to 0$. La série converge. **Exemple 4 : approcher une somme.** La série $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n!} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{6} - \frac{1}{24} + \cdots$ vérifie le critère. Quatre termes donnent $$S_4 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{6} - \frac{1}{24} = \frac{5}{8} = 0.625$$ avec une erreur d'au plus $b_5 = \frac{1}{120} \approx 0.0083$. La vraie somme est $1 - \frac{1}{e} \approx 0.6321$, et l'erreur réelle vaut environ $0.0071$. ## Convergence absolue ou conditionnelle Le critère prouve la convergence, mais ne dit rien de la convergence absolue. Étudiez $\sum b_n$ séparément : | Série | $\sum b_n$ | Conclusion | | --- | --- | --- | | $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}$ | converge | absolument convergente | | $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ | diverge | semi-convergente | | $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}$ | diverge | semi-convergente | Le [critère de d'Alembert](/rules/ratio-test) donne $L = 1$ pour les trois : il ne permet de conclure pour aucune d'entre elles. ## Erreurs fréquentes 1. **Utiliser le critère pour prouver la divergence.** Si la condition de décroissance n'est pas vérifiée, cela ne veut pas dire que la série diverge. Seul $b_n \not\to 0$ le prouve, et c'est le critère du terme général. 2. **Inclure le signe dans $b_n$.** $b_n$ est la valeur absolue du terme, sans le facteur $(-1)^n$. 3. **Oublier de vérifier la décroissance.** Elle est souvent vraie, mais doit être justifiée, parfois à l'aide d'une dérivée. 4. **Dire qu'une série est absolument convergente** parce qu'elle vérifie ce critère. Pour comparer tous les critères de convergence et savoir lequel choisir, lisez le guide complet des [critères de convergence](/blog/convergence-tests). ## Questions fréquentes ### Quelles sont les conditions du critère des séries alternées ? La série doit être de la forme $\sum (-1)^{n+1} b_n$ (ou $\sum (-1)^n b_n$) avec $b_n > 0$, la suite $b_n$ doit être décroissante (au moins à partir d'un certain rang) et $\lim b_n = 0$. Si les trois conditions sont vérifiées, la série converge. ### La série harmonique alternée converge-t-elle ? Oui. $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \cdots$ vérifie le critère et converge vers $\ln 2$. Elle est seulement semi-convergente, puisque $\sum \frac{1}{n}$ diverge. ### Quelle est la majoration du reste d'une série alternée ? Si une série vérifie le critère, s'arrêter après $N$ termes donne une erreur au plus égale au premier terme omis : $\lvert S - S_N\rvert \le b_{N+1}$. ### Que faire si une série alternée ne vérifie pas le critère ? Si $b_n \not\to 0$, la série diverge d'après le critère du terme général. Si seule la condition de décroissance n'est pas vérifiée, on ne peut pas conclure et il faut une autre méthode.