# Critère du terme général : divergence grossière et exemples

> Le critère du terme général : si le terme général d'une série ne tend pas vers 0, la série diverge. Énoncé, limites du critère et exemples corrigés.

Source : https://practicecalculus.com/fr/regles/critere-du-terme-general
Mis à jour : 2026-11-03

$$ \lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \;\Longrightarrow\; \sum a_n \text{ diverge} $$

## En bref

- **Autres noms:** Test de divergence, condition nécessaire de convergence, divergence grossière
- **Permet de prouver:** La divergence uniquement
- **Ne permet pas de prouver:** La convergence. Si $a_n \to 0$, on ne peut pas conclure
- **Exemple classique:** $\sum \frac{1}{n}$ vérifie $a_n \to 0$ mais diverge quand même
- **Quand l''utiliser:** En premier, avant tout autre critère de convergence

## À retenir

- Si $\lim a_n \ne 0$ ou si la limite n'existe pas, $\sum a_n$ diverge.
- Si $\lim a_n = 0$, le critère du terme général ne dit rien : utilisez un autre critère.
- Vérifiez-le toujours en premier : c'est le moyen le plus rapide d'écarter une série.

Le **critère du terme général** (ou test de divergence) est la vérification la plus rapide dans l'étude des séries. Une série ne peut avoir une somme finie que si ses termes tendent vers zéro : si ce n'est pas le cas, la série diverge. On dit alors qu'elle **diverge grossièrement**.

## L'énoncé

Pour toute série $\sum a_n$ :

$$\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \quad\text{ou la limite n'existe pas} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ diverge}$$

La forme équivalente est une condition nécessaire de convergence :

$$\sum a_n \text{ converge} \quad\Longrightarrow\quad \lim_{n\to\infty} a_n = 0$$

La réciproque est **fausse**. Que les termes tendent vers zéro est nécessaire, mais pas suffisant.

## Pourquoi ça marche

Soit $S_n$ la $n$-ième somme partielle. Alors $a_n = S_n - S_{n-1}$. Si la série converge vers $S$, $S_n$ et $S_{n-1}$ tendent toutes deux vers $S$, donc

$$a_n = S_n - S_{n-1} \to S - S = 0$$

## Lire le résultat

| Valeur de $\lim a_n$ | Conclusion |
| --- | --- |
| Un nombre non nul | Diverge |
| $\pm\infty$ | Diverge |
| N'existe pas | Diverge |
| $0$ | **On ne peut pas conclure** : utilisez un autre critère |

```graph
title: 'Les termes aₙ = n/(2n+1) tendent vers 1/2, tandis que 1/n tend vers 0'
caption: 'Les termes $\frac{n}{2n+1}$ se stabilisent à $\frac{1}{2}$, donc leur série diverge. Les termes $\frac{1}{n}$ tendent bien vers $0$, mais cela ne suffit pas à faire converger $\sum \frac{1}{n}$.'
x: [0, 12]
y: [0, 1.1]
functions:
  - expr: x/(2x+1)
    label: y = x/(2x+1)
    domain: [1, 12]
  - expr: 1/x
    label: y = 1/x
    domain: [1, 12]
    dashed: true
  - expr: '0.5'
    label: y = 1/2
    dashed: true
```

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : une fraction rationnelle.** Pour $\sum \frac{n}{2n+1}$ :

$$\lim_{n\to\infty} \frac{n}{2n+1} = \frac{1}{2} \ne 0$$

La série diverge. On additionne indéfiniment des nombres proches de $\frac{1}{2}$.

**Exemple 2 : des termes oscillants.** Pour $\sum (-1)^n$, les termes alternent entre $1$ et $-1$, donc $\lim a_n$ n'existe pas. La série diverge.

**Exemple 3 : un terme trigonométrique.** Pour $\sum \cos\left(\frac{1}{n}\right)$, $\frac{1}{n} \to 0$ et $\cos 0 = 1$, donc $a_n \to 1$. La série diverge.

**Exemple 4 : une limite célèbre.** Pour $\sum \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$, les termes tendent vers $e \ne 0$. La série diverge.

**Exemple 5 : on ne peut pas conclure.** Pour $\sum \frac{1}{n^2}$ et $\sum \frac{1}{n}$, les termes tendent vers $0$ dans les deux cas. Le critère ne dit rien. En réalité, $\sum \frac{1}{n^2}$ converge et $\sum \frac{1}{n}$ diverge, ce que révèlent d'autres critères (la comparaison série-intégrale ou la règle des séries de Riemann, dites $p$-séries).

## Divergence ou convergence en un coup d'œil

Voyez ce critère comme une porte d'entrée. Toute série convergente la franchit, car ses termes doivent tendre vers zéro. Beaucoup de séries divergentes sont arrêtées à la porte, mais certaines, comme la série harmonique, passent quand même et ne révèlent leur divergence qu'avec un critère plus fort. Un échec au critère est donc une réponse définitive, alors qu'un succès signifie seulement que le vrai travail reste à faire. Cette logique à sens unique est la chose la plus importante à retenir sur ce critère.

## Erreurs fréquentes

1. **Conclure à la convergence parce que $a_n \to 0$.** C'est l'erreur la plus courante sur les séries. La série harmonique est le contre-exemple.
2. **Prendre la limite des sommes partielles au lieu de celle des termes.** Le critère porte sur $a_n$, le terme général.
3. **Oublier le cas où la limite n'existe pas.** Des termes oscillants comme $(-1)^n$ ou $\sin n$ ne tendent pas non plus vers $0$.
4. **Le sauter.** Appliquer le [critère de d'Alembert](/rules/ratio-test) à $\sum \frac{n}{2n+1}$ donne une limite égale à $1$ et aucune réponse, alors que le critère du terme général règle la question immédiatement.

## Où il intervient

Utilisez le critère du terme général comme première étape pour toute série. Si les termes tendent bien vers zéro, passez à la suite : essayez la [formule de la série géométrique](/rules/geometric-series-formula) pour une raison constante, le [critère des séries alternées](/rules/alternating-series-test) pour des signes alternés, et le [critère de d'Alembert](/rules/ratio-test) pour les factorielles et les exponentielles. Le guide complet des [critères de convergence](/blog/convergence-tests) montre comment choisir entre eux.

## Questions fréquentes

### Que dit le critère du terme général ?

Si les termes $a_n$ d'une série ne tendent pas vers $0$, la série $\sum a_n$ diverge (on dit qu'elle diverge grossièrement). C'est un critère de divergence uniquement.

### Le critère du terme général peut-il montrer qu'une série converge ?

Non. Si $a_n \to 0$, on ne peut pas conclure. La série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ a des termes qui tendent vers $0$, mais elle diverge.

### Et si la limite de a_n n'existe pas ?

La série diverge aussi. Par exemple, les termes de $\sum (-1)^n$ alternent entre $1$ et $-1$, donc ils ne tendent pas vers $0$.

### Pourquoi le critère du terme général est-il vrai ?

Si $\sum a_n$ converge vers $S$, alors $a_n = S_n - S_{n-1} \to S - S = 0$. La convergence force donc les termes à tendre vers zéro, et des termes qui ne tendent pas vers zéro excluent la convergence.