# Dérivation implicite : méthode, formule et exemples corrigés

> La dérivation implicite donne dy/dx sans isoler y. La règle clé, une méthode en quatre étapes, des exemples avec tangentes et les erreurs fréquentes.

Source : https://practicecalculus.com/fr/regles/derivation-implicite
Mis à jour : 2026-11-03

$$ \frac{d}{dx}\,f(y) = f'(y)\,\frac{dy}{dx} $$

## En bref

- **S'applique à:** Aux équations reliant $x$ et $y$ où $y$ n'est pas isolé, comme $x^2 + y^2 = 25$
- **Idée clé:** On traite $y$ comme une fonction de $x$, donc chaque terme en $y$ reçoit un facteur $\frac{dy}{dx}$ par dérivation en chaîne
- **Résultat:** Une formule pour $\frac{dy}{dx}$ qui contient en général à la fois $x$ et $y$
- **Prérequis:** La dérivation en chaîne, et la règle du produit pour des termes comme $xy$
- **Utilisée pour:** Les tangentes aux courbes, les taux de variation liés, les dérivées des fonctions réciproques

## À retenir

- On dérive les deux membres par rapport à $x$, en traitant $y$ comme une fonction de $x$.
- Chaque fois qu'on dérive un terme contenant $y$, on multiplie par $\frac{dy}{dx}$.
- On regroupe les termes en $\frac{dy}{dx}$ d'un côté et on factorise pour résoudre.
- La réponse contient en général $x$ et $y$. On remplace par un point de la courbe pour obtenir une pente.

La **dérivation implicite** permet de trouver $\frac{dy}{dx}$ à partir d'une équation qui mélange $x$ et $y$, sans isoler $y$ au préalable. On dérive les deux membres par rapport à $x$, en se rappelant que $y$ dépend de $x$, puis on résout pour obtenir $\frac{dy}{dx}$. C'est la [dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) appliquée à $y$.

## La règle clé

Comme $y$ est une fonction de $x$, toute expression en $y$ est une composée. D'après la dérivation en chaîne :

$$\frac{d}{dx}\,f(y) = f'(y)\,\frac{dy}{dx}$$

| Terme | Dérivée par rapport à $x$ |
| --- | --- |
| $x^3$ | $3x^2$ |
| $y^3$ | $3y^2\,\frac{dy}{dx}$ |
| $\sin y$ | $\cos y\,\frac{dy}{dx}$ |
| $e^y$ | $e^y\,\frac{dy}{dx}$ |
| $xy$ | $y + x\,\frac{dy}{dx}$ (règle du produit) |

## Les quatre étapes

1. Dériver **les deux membres** de l'équation par rapport à $x$.
2. Multiplier par $\frac{dy}{dx}$ chaque fois qu'on dérive un terme en $y$.
3. Placer tous les termes en $\frac{dy}{dx}$ d'un côté et tout le reste de l'autre.
4. Mettre $\frac{dy}{dx}$ en facteur et diviser.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : un cercle.** On dérive $x^2 + y^2 = 25$ :

$$2x + 2y\,\frac{dy}{dx} = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

Au point $(3, 4)$, la pente vaut $-\frac{3}{4}$, donc la tangente a pour équation $y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3)$, soit $y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4}$.

```graph
title: 'Cercle x² + y² = 25 et sa tangente en (3, 4)'
caption: 'La dérivation implicite donne $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$, donc la pente en $(3, 4)$ vaut $-\frac{3}{4}$.'
x: [-8, 10]
y: [-6, 7]
functions:
  - expr: sqrt(25 - x^2)
    label: demi-cercle supérieur
    domain: [-5, 5]
  - expr: -sqrt(25 - x^2)
    label: demi-cercle inférieur
    domain: [-5, 5]
  - expr: -0.75x + 6.25
    label: tangente en (3, 4)
    dashed: true
points:
  - [3, 4, '(3, 4)']
```

**Exemple 2 : un terme produit.** On dérive $x^3 + y^3 = 6xy$, en appliquant la règle du produit à $6xy$ :

$$3x^2 + 3y^2\,\frac{dy}{dx} = 6y + 6x\,\frac{dy}{dx}$$

On regroupe et on factorise :

$$\frac{dy}{dx}\left(3y^2 - 6x\right) = 6y - 3x^2 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}$$

Le point $(3, 3)$ est sur la courbe, puisque $27 + 27 = 54 = 6 \cdot 9$. En ce point, la pente vaut $\frac{6 - 9}{9 - 6} = -1$.

**Exemple 3 : retrouver la dérivée de $\ln x$.** Si $y = \ln x$, alors $e^y = x$. On dérive :

$$e^y\,\frac{dy}{dx} = 1 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$$

C'est l'idée qui se cache derrière la [dérivée de la fonction réciproque](/rules/inverse-function-rule).

**Exemple 4 : une équation trigonométrique.** On dérive $\sin y = x^2$ :

$$\cos y\,\frac{dy}{dx} = 2x \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{\cos y}$$

## Quand utiliser la dérivation implicite

- L'équation est difficile ou impossible à résoudre en $y$ (comme $x^3 + y^3 = 6xy$).
- La courbe n'est pas une seule fonction, comme un cercle ou une ellipse, et on veut les pentes sur toutes ses parties.
- On a besoin des dérivées de fonctions réciproques comme $\ln x$, $\arcsin x$ ou $\arctan x$.
- Dans les problèmes de [taux de variation liés](/blog/related-rates), où l'on dérive par rapport au temps $t$ et où chaque grandeur a son propre taux.

## Erreurs fréquentes

1. **Oublier $\frac{dy}{dx}$ sur les termes en $y$.** $\frac{d}{dx}\,y^2$ vaut $2y\,\frac{dy}{dx}$, et non $2y$.
2. **Oublier la règle du produit.** $\frac{d}{dx}\,xy$ vaut $y + x\,\frac{dy}{dx}$, et non $\frac{dy}{dx}$ ou $1 \cdot \frac{dy}{dx}$.
3. **Ne dériver qu'un seul membre.** Les deux membres changent, y compris un membre constant, dont la dérivée vaut $0$.
4. **Remplacer par un point qui n'est pas sur la courbe.** Vérifiez que le point satisfait l'équation de départ avant de l'utiliser.

Pour une explication plus détaillée avec davantage d'exercices, lisez le guide complet sur [la dérivation implicite](/blog/implicit-differentiation).

## Questions fréquentes

### Qu'est-ce que la dérivation implicite ?

C'est une façon de trouver $\frac{dy}{dx}$ à partir d'une équation en $x$ et $y$ sans isoler $y$. On dérive les deux membres par rapport à $x$ et on applique la dérivation en chaîne à chaque terme en $y$.

### Pourquoi multiplie-t-on par dy/dx ?

Parce que $y$ est une fonction de $x$. D'après la dérivation en chaîne, $\frac{d}{dx}\,y^2 = 2y \cdot \frac{dy}{dx}$, tout comme $\frac{d}{dx}\,(g(x))^2 = 2g(x)\,g'(x)$.

### Quand utiliser la dérivation implicite ?

Quand $y$ est difficile ou impossible à isoler, comme dans $x^3 + y^3 = 6xy$, ou quand la courbe n'est pas la représentation graphique d'une seule fonction, comme un cercle.

### Pourquoi la réponse contient-elle y ?

La courbe peut passer par plusieurs points de même abscisse $x$ avec des pentes différentes. Le $y$ indique de quel point il s'agit.