# Dérivation logarithmique : comment dériver x^x et plus encore

> La dérivation logarithmique : prendre ln des deux membres, dériver, multiplier par y. Méthode et exemples pour x^x, les exposants variables et les produits.

Source : https://practicecalculus.com/fr/regles/derivation-logarithmique
Mis à jour : 2026-11-03

$$ \frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{d}{dx}\big[\ln y\big] $$

## En bref

- **S'applique à:** Les bases variables avec exposants variables comme $x^x$, et les longs produits ou quotients de puissances
- **En mots:** Prendre $\ln$ des deux membres, simplifier avec les propriétés du logarithme, dériver, puis multiplier par $y$
- **Fait clé:** $\frac{d}{dx}\ln y = \frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}$ par la dérivation en chaîne
- **Propriétés du ln utilisées:** $\ln(ab) = \ln a + \ln b$, $\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b$, $\ln a^k = k \ln a$
- **Résultat classique:** $\frac{d}{dx}\,x^x = x^x(\ln x + 1)$

## À retenir

- Utilisez-la quand la variable figure à la fois dans la base et dans l'exposant, comme $x^x$ ou $x^{\sin x}$.
- Le logarithme transforme les produits en sommes et les puissances en multiples, faciles à dériver.
- Après la dérivation, multipliez par $y$ et réinjectez la fonction de départ.

La **dérivation logarithmique** est une technique pour les fonctions difficiles à dériver directement. On prend le logarithme népérien des deux membres, on utilise les propriétés du logarithme pour transformer produits, quotients et puissances en sommes et en multiples, on dérive, puis on isole $\frac{dy}{dx}$. C'est la seule méthode standard pour dériver une fonction comme $x^x$.

## La méthode

On part de $y = f(x)$ avec $f(x) > 0$ :

1. Prendre le logarithme népérien des deux membres : $\ln y = \ln f(x)$.
2. Simplifier le membre de droite avec les propriétés du logarithme.
3. Dériver les deux membres par rapport à $x$. Le membre de gauche devient $\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}$ par la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule).
4. Multiplier les deux membres par $y$, puis réinjecter $y = f(x)$.

En une ligne :

$$\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{d}{dx}\big[\ln y\big]$$

Si $f$ peut être négative, utilisez $\ln|y|$ à la place. La dérivée de $\ln|y|$ est toujours $\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}$, donc la formule finale ne change pas.

## Quelle règle pour quelle puissance ?

| Forme | Exemple | Règle | Dérivée |
| --- | --- | --- | --- |
| constante puissance constante | $2^3$ | [Dérivée d'une constante](/rules/constant-rule) | $0$ |
| variable puissance constante | $x^3$ | [Règle de la puissance](/rules/power-rule) | $3x^2$ |
| constante puissance variable | $3^x$ | Règle de l'exponentielle | $3^x\ln 3$ |
| variable puissance variable | $x^x$ | Dérivation logarithmique | $x^x(\ln x + 1)$ |

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : $y = x^x$** (pour $x > 0$). On prend le logarithme et on fait descendre l'exposant :

$$\ln y = x\ln x$$

On dérive, avec la [règle du produit](/rules/product-rule) à droite :

$$\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$$

On multiplie par $y$ :

$$\frac{dy}{dx} = x^x(\ln x + 1)$$

```graph
title: 'Courbe de y = xˣ et de sa dérivée xˣ(ln x + 1)'
caption: 'La dérivée s''annule quand $\ln x = -1$, en $x = \frac{1}{e} \approx 0.37$, où $x^x$ atteint son minimum.'
x: [0.02, 2]
y: [-1, 4]
functions:
  - expr: x^x
    label: y = xˣ
  - expr: x^x*(ln(x) + 1)
    label: dérivée
    dashed: true
points:
  - [0.368, 0.692, 'minimum']
```

**Exemple 2 : $y = x^{\sin x}$** (pour $x > 0$). Alors $\ln y = \sin x \ln x$, et

$$\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx} = \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} = x^{\sin x}\left(\cos x\ln x + \frac{\sin x}{x}\right)$$

**Exemple 3 : un quotient compliqué.** Pour $y = \frac{(x+1)^3\sqrt{x^2 + 4}}{(2x - 1)^5}$, le logarithme sépare tout :

$$\ln y = 3\ln(x + 1) + \frac{1}{2}\ln(x^2 + 4) - 5\ln(2x - 1)$$

On dérive chaque terme avec la dérivation en chaîne :

$$\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx} = \frac{3}{x + 1} + \frac{x}{x^2 + 4} - \frac{10}{2x - 1}$$

Donc

$$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)^3\sqrt{x^2 + 4}}{(2x - 1)^5}\left(\frac{3}{x + 1} + \frac{x}{x^2 + 4} - \frac{10}{2x - 1}\right)$$

Les règles du quotient et du produit donneraient le même résultat, mais avec beaucoup plus de calculs.

**Exemple 4 : démontrer la règle de la puissance.** Pour $y = x^n$ avec $n$ réel quelconque et $x > 0$ : $\ln y = n\ln x$, donc $\frac{y'}{y} = \frac{n}{x}$ et $y' = x^n \cdot \frac{n}{x} = n\,x^{n-1}$. C'est ainsi que l'on étend la règle de la puissance à tout exposant réel.

## Erreurs fréquentes

1. **Utiliser la règle de la puissance pour $x^x$.** $x \cdot x^{x-1} = x^x$ est faux. L'exposant n'est pas constant.
2. **Utiliser la règle de l'exponentielle pour $x^x$.** $x^x\ln x$ est faux aussi. La base n'est pas constante. Remarquez que la bonne réponse $x^x\ln x + x^x$ est la somme de ces deux réponses fausses.
3. **Oublier de multiplier par $y$.** Dériver $\ln y$ donne $\frac{y'}{y}$. Isolez $y'$ à la fin.
4. **Laisser $y$ dans le résultat.** Remplacez $y$ par la fonction de départ pour que la dérivée ne dépende que de $x$.

La méthode repose sur la [dérivation implicite](/rules/implicit-differentiation) et sur la dérivée de $\ln x$. Pour réviser les dérivées des exponentielles et des logarithmes, lisez le guide sur les [dérivées des fonctions exponentielles et logarithmes](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Questions fréquentes

### Qu'est-ce que la dérivation logarithmique ?

C'est une technique qui consiste à prendre le logarithme népérien des deux membres de $y = f(x)$, à simplifier avec les propriétés du logarithme, à dériver implicitement, puis à obtenir $\frac{dy}{dx}$ en multipliant par $y$.

### Quelle est la dérivée de x^x ?

Posons $y = x^x$, donc $\ln y = x\ln x$. En dérivant, on obtient $\frac{y'}{y} = \ln x + 1$, donc $\frac{d}{dx}\,x^x = x^x(\ln x + 1)$ pour $x > 0$.

### Quand utiliser la dérivation logarithmique ?

Utilisez-la pour une variable élevée à une puissance variable, et comme raccourci pour les longs produits et quotients de puissances qui demanderaient plusieurs applications des règles du produit et du quotient.

### Pourquoi ne peut-on pas utiliser la règle de la puissance pour x^x ?

La règle de la puissance exige un exposant constant et la règle de l'exponentielle une base constante. Dans $x^x$, les deux sont variables, donc aucune de ces règles ne s'applique.