# Dérivée d'une constante : pourquoi la dérivée de c vaut 0

> La dérivée d'une constante est nulle. La formule, une démonstration en une ligne, des exemples avec π et e, et les erreurs à éviter.

Source : https://practicecalculus.com/fr/regles/derivee-d-une-constante
Mis à jour : 2026-11-03

$$ \frac{d}{dx}\, c = 0 $$

## En bref

- **S'applique à:** Toute expression qui ne dépend pas de $x$, comme $7$, $\pi$, $e^2$ ou $\ln 5$
- **En mots:** Une constante ne varie jamais, donc son taux de variation est nul
- **Interprétation graphique:** La courbe de $y = c$ est une droite horizontale, de pente $0$ en tout point
- **Version intégrale:** $\int 0\,dx = C$, c'est pourquoi les primitives se terminent par $+\,C$
- **Règles liées:** Règle de la puissance, produit par une constante, dérivée d'une somme

## À retenir

- La dérivée de toute constante est $0$ : $\frac{d}{dx}\,c = 0$.
- Des nombres comme $\pi$, $e^3$ et $\ln 2$ sont des constantes, donc leurs dérivées valent aussi $0$.
- Une constante ajoutée à une fonction disparaît quand on dérive. Une constante qui multiplie une fonction reste.

La **dérivée d'une constante** est nulle. Une constante ne varie jamais, donc son taux de variation vaut $0$ partout. C'est la règle de dérivation la plus simple, et elle intervient discrètement dans presque toutes les dérivées que vous calculez.

## La formule de la dérivée d'une constante

Pour toute constante $c$ :

$$\frac{d}{dx}\, c = 0$$

« Constante » désigne tout ce qui ne dépend pas de la variable par rapport à laquelle on dérive. Cela comprend les nombres ordinaires, mais aussi des expressions comme $\pi^2$, $e^3$, $\sqrt{7}$, $\sin 1$ et $\ln 5$.

```graph
title: 'Courbe de la fonction constante y = 3 et de sa dérivée y = 0'
caption: 'La droite $y = 3$ est horizontale, donc sa pente vaut $0$ en tout point. La dérivée est la droite $y = 0$.'
x: [-4, 4]
y: [-1, 4]
functions:
  - expr: '3'
    label: y = 3
  - expr: '0'
    label: y = 0 (dérivée)
    dashed: true
```

## Exemples

| Fonction | Pourquoi elle est constante | Dérivée |
| --- | --- | --- |
| $7$ | Un nombre | $0$ |
| $-12.5$ | Un nombre | $0$ |
| $\pi$ | Un nombre, environ $3.14$ | $0$ |
| $e^3$ | Aucun $x$ | $0$ |
| $\ln 5$ | Aucun $x$ | $0$ |
| $\sin\frac{\pi}{6}$ | Vaut $\frac{1}{2}$ | $0$ |

**Exemple : le terme constant d'un polynôme.** Avec la [dérivée d'une somme](/rules/sum-and-difference-rule), on dérive chaque terme séparément et le terme constant disparaît :

$$\frac{d}{dx}\left(x^2 + 4x + 9\right) = 2x + 4 + 0 = 2x + 4$$

**Exemple : un paramètre.** Si $a$ et $b$ sont des constantes, alors

$$\frac{d}{dx}\left(a^2 + bx\right) = 0 + b = b$$

Le terme $a^2$ ressemble à une puissance, mais il ne dépend pas de $x$, c'est donc une constante.

## Pourquoi la dérivée d'une constante est nulle

Utilisez la [définition de la dérivée par une limite](/blog/limit-definition-of-the-derivative) avec $f(x) = c$ :

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{c - c}{h} = \lim_{h \to 0} 0 = 0$$

On peut aussi y voir un cas particulier de la [règle de la puissance](/rules/power-rule) : $c = c\,x^0$, et $\frac{d}{dx}\,c\,x^0 = c \cdot 0 \cdot x^{-1} = 0$ (pour $x \ne 0$).

## Constante ajoutée ou constante multipliée

C'est ici que la dérivée d'une constante rejoint la [règle du produit par une constante](/rules/constant-multiple-rule) :

| Expression | Dérivée | Raison |
| --- | --- | --- |
| $x^3 + 5$ | $3x^2$ | Une constante ajoutée disparaît |
| $5x^3$ | $15x^2$ | Une constante multipliée reste |
| $5$ | $0$ | Dérivée d'une constante |
| $5x$ | $5$ | Multiple constant de $x$ |

Décaler une courbe vers le haut ou vers le bas en ajoutant une constante ne change sa pente nulle part, et c'est exactement pour cela que les constantes ajoutées disparaissent. Étirer une courbe d'un certain facteur multiplie chaque pente par ce facteur, et c'est pour cela que les constantes multipliées restent.

## La règle dans l'autre sens

Comme toute constante a pour dérivée $0$, beaucoup de fonctions ont la même dérivée : $x^2$, $x^2 + 1$ et $x^2 - 8$ ont toutes pour dérivée $2x$. Quand on intègre, il faut donc ajouter une constante arbitraire :

$$\int 2x\,dx = x^2 + C$$

Consultez [les primitives](/blog/antiderivatives) pour comprendre pourquoi le $+\,C$ est indispensable.

## Erreurs fréquentes

1. **Traiter une expression constante comme une variable.** $\frac{d}{dx}\,e^2 = 0$, et non $2e$ ou $e^2$. L'exposant est un nombre, pas $x$.
2. **Annuler un multiple constant.** $\frac{d}{dx}\,4x = 4$, et non $0$. Seule une constante isolée, ou ajoutée, devient $0$.
3. **Se tromper sur la variable qui varie.** $\frac{d}{dx}\,t^2 = 0$ quand $t$ est une constante, mais $\frac{d}{dt}\,t^2 = 2t$. Vérifiez toujours la variable au dénominateur de $\frac{d}{d\square}$.

La dérivée d'une constante s'utilise généralement avec la [règle de la puissance](/rules/power-rule) et la [dérivée d'une somme](/rules/sum-and-difference-rule). Consultez le guide complet sur [la règle de la puissance](/blog/power-rule) pour vous entraîner avec les trois à la fois.

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée d'une constante ?

Zéro. Une fonction constante a une courbe horizontale, et une droite horizontale a une pente $0$ en tout point.

### Quelle est la dérivée de pi ?

$\pi$ est un nombre, environ $3.14159$, donc $\frac{d}{dx}\,\pi = 0$. Il en va de même pour $\pi^2$, $e$, $e^5$ et $\sqrt{2}$.

### Pourquoi la dérivée de 5x n'est-elle pas 0 ?

$5x$ est une constante fois $x$, pas une constante. D'après la règle du produit par une constante, sa dérivée vaut $5 \cdot 1 = 5$.

### Pourquoi les primitives ont-elles un + C ?

Comme la dérivée de toute constante est $0$, des fonctions comme $x^2$, $x^2 + 3$ et $x^2 - 10$ ont toutes pour dérivée $2x$. Le $+\,C$ représente toute cette famille.