# Dérivée d'une somme et d'une différence : formule et exemples

> La dérivée d'une somme ou d'une différence se calcule terme à terme. La formule, des exemples corrigés, une démonstration et les pièges à éviter.

Source : https://practicecalculus.com/fr/regles/derivee-d-une-somme
Mis à jour : 2026-11-03

$$ \frac{d}{dx}\,[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x) $$

## En bref

- **S'applique à:** Toute somme ou différence de fonctions dérivables, quel que soit le nombre de termes
- **En mots:** On dérive terme à terme en gardant les signes plus et moins
- **Combinée avec:** Le produit par une constante, ce qui donne $(af + bg)' = af' + bg'$
- **Ne s'applique pas à:** Aux produits et aux quotients, qui demandent la règle du produit et la règle du quotient
- **Version intégrale:** $\int [f(x) \pm g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$

## À retenir

- La dérivée d'une somme est la somme des dérivées, et de même pour une différence.
- Cela fonctionne avec un nombre quelconque de termes : c'est ainsi qu'on dérive un polynôme terme à terme.
- Il n'existe pas de raccourci équivalent pour les produits : $(fg)' \ne f'g'$.

La **dérivée d'une somme ou d'une différence** se calcule terme à terme. La dérivée de $f + g$ est $f' + g'$, et la dérivée de $f - g$ est $f' - g'$. C'est la règle qui rend les polynômes faciles à dériver.

## La formule

Si $f$ et $g$ sont dérivables, alors

$$\frac{d}{dx}\,[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)$$

$$\frac{d}{dx}\,[f(x) - g(x)] = f'(x) - g'(x)$$

La règle s'étend à un nombre quelconque de termes. Combinée à la [règle du produit par une constante](/rules/constant-multiple-rule), elle dit que la dérivation est **linéaire** :

$$\frac{d}{dx}\,[a\,f(x) + b\,g(x)] = a\,f'(x) + b\,g'(x)$$

## Exemples

**Exemple 1 : un polynôme.** On applique la [règle de la puissance](/rules/power-rule) à chaque terme et la [dérivée d'une constante](/rules/constant-rule) au terme constant :

$$\frac{d}{dx}\left(3x^2 - 5x + 8\right) = 6x - 5 + 0 = 6x - 5$$

**Exemple 2 : des fonctions de types différents.** Chaque terme suit sa propre règle :

$$\frac{d}{dx}\left(x^4 + \sin x - e^x\right) = 4x^3 + \cos x - e^x$$

**Exemple 3 : une différence avec un logarithme.**

$$\frac{d}{dx}\left(2\ln x - \sqrt{x}\right) = \frac{2}{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

**Exemple 4 : séparer d'abord une fraction.** Quand le dénominateur est un seul terme, on divise chaque terme du numérateur par ce dénominateur, puis on dérive la somme :

$$\frac{x^2 + 1}{x} = x + x^{-1} \quad\Rightarrow\quad \frac{d}{dx}\left(x + x^{-1}\right) = 1 - x^{-2} = 1 - \frac{1}{x^2}$$

On évite ainsi complètement la [règle du quotient](/rules/quotient-rule).

```graph
title: 'Courbe de y = x³ − 3x et de sa dérivée y = 3x² − 3'
caption: 'En dérivant terme à terme, on obtient $3x^2 - 3$. Elle s''annule en $x = \pm 1$, exactement là où $x^3 - 3x$ change de sens de variation.'
x: [-2.5, 2.5]
y: [-4, 6]
functions:
  - expr: x^3 - 3x
    label: y = x³ − 3x
  - expr: 3x^2 - 3
    label: y = 3x² − 3 (dérivée)
    dashed: true
points:
  - [-1, 2, '(−1, 2)']
  - [1, -2, '(1, −2)']
```

## Pourquoi la règle fonctionne

Dans la [définition de la dérivée par une limite](/blog/limit-definition-of-the-derivative), on regroupe le taux d'accroissement en deux taux d'accroissement :

$$\frac{[f(x+h) + g(x+h)] - [f(x) + g(x)]}{h} = \frac{f(x+h) - f(x)}{h} + \frac{g(x+h) - g(x)}{h}$$

Quand $h \to 0$, la limite d'une somme (voir les [opérations sur les limites](/rules/limit-laws)) transforme le membre de droite en $f'(x) + g'(x)$. Pour la différence, le raisonnement est le même avec un signe moins.

## Ce que la règle ne couvre pas

Cette règle est si naturelle que les élèves supposent parfois que les produits et les quotients se comportent de la même façon. Ce n'est pas le cas :

| Expression | Bonne règle | Bonne dérivée |
| --- | --- | --- |
| $x^2 + \sin x$ | Dérivée d'une somme | $2x + \cos x$ |
| $x^2 \sin x$ | [Règle du produit](/rules/product-rule) | $2x\sin x + x^2\cos x$ |
| $\frac{x^2}{\sin x}$ | [Règle du quotient](/rules/quotient-rule) | $\frac{2x\sin x - x^2\cos x}{\sin^2 x}$ |
| $\sin(x^2)$ | [Dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) | $2x\cos(x^2)$ |

Vérifiez que la dérivée de $x^2 \sin x$ n'est pas $2x\cos x$ : par exemple en $x = \frac{\pi}{2}$, la bonne dérivée vaut $\pi$, alors que $2x\cos x$ donne $0$.

## Erreurs fréquentes

1. **Perdre un signe moins.** Dans $\frac{d}{dx}(x^3 - \cos x)$, la dérivée de $\cos x$ est $-\sin x$, donc la réponse est $3x^2 + \sin x$. Surveillez les deux signes.
2. **Étendre la règle aux produits.** $(fg)' \ne f'g'$. Utilisez la règle du produit.
3. **Séparer une fraction dont le dénominateur est une somme.** $\frac{1}{x + 1} \ne \frac{1}{x} + 1$. On ne peut séparer que si le dénominateur est un seul terme.

Pour une série complète d'exemples sur les polynômes et la règle de la puissance, lisez le guide complet sur [la règle de la puissance](/blog/power-rule).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée d'une somme de fonctions ?

La règle dit que $\frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)$. On dérive chaque terme séparément et on additionne les résultats.

### La règle fonctionne-t-elle avec plus de deux termes ?

Oui. En l'appliquant plusieurs fois, chaque terme est dérivé séparément. C'est pour cela qu'on peut dériver un polynôme terme à terme.

### La dérivée d'un produit est-elle le produit des dérivées ?

Non. La règle de la somme n'a pas de version pour les produits. La dérivée de $f(x)g(x)$ est $f'g + fg'$ d'après la règle du produit.

### Peut-on séparer une fraction pour utiliser la dérivée d'une somme ?

Oui, quand le dénominateur est un seul terme. Par exemple $\frac{x^3 + 2}{x} = x^2 + 2x^{-1}$, dont la dérivée est $2x - 2x^{-2}$.