# Dérivée d'une fonction réciproque : formule et exemples > La dérivée de la réciproque f⁻¹ en x vaut 1/f'(f⁻¹(x)). La formule, pourquoi les pentes sont inverses, des exemples corrigés, arcsin et ln. Source : https://practicecalculus.com/fr/regles/derivee-de-la-fonction-reciproque Mis à jour : 2026-11-03 $$ (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'\big(f^{-1}(x)\big)} $$ ## En bref - **S'applique à:** Une fonction $f$ bijective et dérivable, aux points où $f'(f^{-1}(x)) \ne 0$ - **Forme ponctuelle:** Si $f(a) = b$, alors $(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}$ - **Notation de Leibniz:** $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}$ - **Interprétation graphique:** La symétrie par rapport à $y = x$ échange les variations verticale et horizontale, donc les pentes deviennent inverses - **Permet d'obtenir:** Les dérivées de $\ln x$, $\sqrt{x}$, $\arcsin x$ et $\arctan x$ ## À retenir - La pente de $f^{-1}$ en $(b, a)$ est l'inverse de la pente de $f$ en $(a, b)$. - On peut calculer $(f^{-1})'(b)$ sans formule pour $f^{-1}$ : résoudre $f(a) = b$, puis calculer $\frac{1}{f'(a)}$. - La formule ne s'applique pas là où $f'(a) = 0$, car la réciproque y a une tangente verticale. La **dérivée de la fonction réciproque** s'obtient à partir de la dérivée de la fonction de départ. Si $f$ a pour pente $m$ au point $(a, b)$, alors $f^{-1}$ a pour pente $\frac{1}{m}$ au point symétrique $(b, a)$. Il n'est pas nécessaire de connaître une formule de la réciproque pour l'utiliser. ## La formule de la dérivée de la réciproque Soit $f$ une fonction bijective et dérivable, de réciproque $f^{-1}$. Si $f'(f^{-1}(x)) \ne 0$, alors $f^{-1}$ est dérivable en $x$ et $$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'\big(f^{-1}(x)\big)}$$ La **forme ponctuelle** est en général plus pratique. Si $f(a) = b$ et $f'(a) \ne 0$ : $$(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}$$ En notation de Leibniz, avec $y = f(x)$ et $x = f^{-1}(y)$, cela s'écrit $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}$. ```graph title: 'Courbes de y = x² et y = √x, symétriques par rapport à y = x' caption: 'En $(2, 4)$, la parabole a pour pente $4$. Au point symétrique $(4, 2)$, la racine carrée a pour pente $\frac{1}{4}$.' x: [0, 6] y: [0, 6] functions: - expr: x^2 label: y = x² domain: [0, 2.45] - expr: sqrt(x) label: y = √x - expr: x label: y = x dashed: true points: - [2, 4, 'pente 4'] - [4, 2, 'pente 1/4'] ``` ## Pourquoi la formule fonctionne On part de l'identité $f(f^{-1}(x)) = x$ et on dérive les deux membres avec la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) : $$f'\big(f^{-1}(x)\big) \cdot (f^{-1})'(x) = 1$$ En divisant par $f'(f^{-1}(x))$, on obtient la formule. Géométriquement, la symétrie d'une courbe par rapport à $y = x$ échange $x$ et $y$, donc échange les variations verticale et horizontale : chaque pente est remplacée par son inverse. ## Exemples corrigés **Exemple 1 : sans formule pour la réciproque.** Soit $f(x) = x^3 + x + 1$, strictement croissante et donc bijective sur son image. Calculer $(f^{-1})'(3)$. **Étape 1.** On résout $f(a) = 3$ : $a^3 + a + 1 = 3$ donne $a = 1$. **Étape 2.** On dérive : $f'(x) = 3x^2 + 1$, donc $f'(1) = 4$. **Étape 3.** On prend l'inverse : $(f^{-1})'(3) = \frac{1}{4}$. **Exemple 2 : la dérivée de $\ln x$.** Ici $f(x) = e^x$, $f'(x) = e^x$ et $f^{-1}(x) = \ln x$ : $$\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{e^{\ln x}} = \frac{1}{x}$$ **Exemple 3 : la dérivée de $\arcsin x$.** Ici $f(x) = \sin x$ sur $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, donc $f'(x) = \cos x$ : $$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\cos(\arcsin x)} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad -1 < x < 1$$ La dernière étape utilise $\cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta}$, qui est positif sur cet intervalle. Voir [arcsinus](/functions/arcsine). **Exemple 4 : la dérivée de $\arctan x$.** Avec $f(x) = \tan x$ et $f'(x) = \sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ : $$\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1 + \tan^2(\arctan x)} = \frac{1}{1 + x^2}$$ ## Les dérivées que donne la formule | Fonction $f$ | Réciproque $f^{-1}$ | Dérivée de la réciproque | | --- | --- | --- | | $x^2$ pour $x \ge 0$ | $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ | | $e^x$ | $\ln x$ | $\frac{1}{x}$ | | $\sin x$ | $\arcsin x$ | $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ | | $\cos x$ | $\arccos x$ | $-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ | | $\tan x$ | $\arctan x$ | $\frac{1}{1 + x^2}$ | ## Erreurs fréquentes 1. **Évaluer $f'$ au mauvais point.** $(f^{-1})'(b)$ utilise $f'(a)$ avec $f(a) = b$, et non $f'(b)$. Dans l'exemple 1, $f'(3) = 28$ donnerait le résultat faux $\frac{1}{28}$. 2. **Confondre $f^{-1}$ et $\frac{1}{f}$.** $f^{-1}$ désigne la fonction réciproque, pas son inverse pour la multiplication. $\sin^{-1}x$ signifie $\arcsin x$, et non $\csc x$. 3. **Ignorer les points où $f' = 0$.** Si $f'(a) = 0$, la réciproque a une tangente verticale en $b$ et n'y est pas dérivable. Pour $f(x) = x^3$, la réciproque $\sqrt[3]{x}$ n'est pas dérivable en $0$. On retrouve aussi ce résultat par [dérivation implicite](/rules/implicit-differentiation) : on écrit $x = f(y)$ et on dérive les deux membres. Pour en savoir plus sur $\ln x$ et $e^x$, lisez le guide sur les [dérivées des fonctions exponentielles et logarithmes](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions). ## Questions fréquentes ### Quelle est la formule de la dérivée d'une fonction réciproque ? $(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. De manière équivalente, si $f(a) = b$, alors $(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}$. ### Comment calculer la dérivée d'une réciproque en un point ? Trouvez l'antécédent $a$ tel que $f(a) = b$, calculez $f'(a)$ et prenez son inverse. Il n'est pas nécessaire de connaître $f^{-1}$ elle-même. ### Pourquoi la dérivée d'une réciproque est-elle un inverse ? La courbe de $f^{-1}$ est la symétrique de celle de $f$ par rapport à $y = x$. Cette symétrie échange les variations verticale et horizontale, donc une pente $m$ devient $\frac{1}{m}$. ### La dérivée de f réciproque est-elle égale à 1 sur f prime ? Pas au même point. $(f^{-1})'(x)$ est égal à $\frac{1}{f'}$ évalué en $f^{-1}(x)$, et non en $x$. Se tromper de point est l'erreur la plus fréquente.