# Intégration par parties : formule ∫u dv = uv − ∫v du et exemples > La formule d'intégration par parties ∫u dv = uv − ∫v du, le choix de u avec LIATE, le cas des intégrales définies et des exemples : ln x, x·eˣ, x·cos x. Source : https://practicecalculus.com/fr/regles/integration-par-parties Mis à jour : 2026-11-03 $$ \int u\,dv = uv - \int v\,du $$ ## En bref - **Réciproque de:** La règle du produit pour les dérivées - **Quand l''utiliser:** L'intégrande est le produit de deux fonctions de types différents, comme $x\,e^x$ ou $x\cos x$ - **Choix de u:** LIATE : Logarithme, Inverse trigonométrique, Algébrique (polynôme), Trigonométrique, Exponentielle - **Version définie:** $\int_a^b u\,dv = \big[uv\big]_a^b - \int_a^b v\,du$ - **Objectif:** La nouvelle intégrale $\int v\,du$ doit être plus simple que l'intégrale de départ ## À retenir - L'intégration par parties remplace $\int u\,dv$ par $uv - \int v\,du$. - Choisissez pour $u$ le facteur qui se simplifie quand on le dérive ; l'ordre LIATE est un bon choix par défaut. - Certaines intégrales demandent deux intégrations par parties, et certaines font réapparaître l'intégrale de départ, qu'il suffit alors d'isoler. L'**intégration par parties** est la [règle du produit](/rules/product-rule) des dérivées, réarrangée pour intégrer des produits. Elle remplace une intégrale par une autre, et lorsque $u$ et $dv$ sont bien choisis, la nouvelle intégrale est plus facile que celle de départ. ## La formule d'intégration par parties Pour des fonctions dérivables $u$ et $v$ : $$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$ En notation fonctionnelle, avec $u = f(x)$ et $dv = g'(x)\,dx$ : $$\int f(x)\,g'(x)\,dx = f(x)\,g(x) - \int f'(x)\,g(x)\,dx$$ Pour une intégrale définie, on évalue le terme $uv$ entre les bornes : $$\int_a^b u\,dv = \big[uv\big]_a^b - \int_a^b v\,du$$ ## D'où vient la formule La règle du produit donne $(uv)' = u'v + uv'$. On intègre les deux membres et on réarrange : $$uv = \int v\,du + \int u\,dv \quad\Longrightarrow\quad \int u\,dv = uv - \int v\,du$$ ## Choisir u avec LIATE Choisissez pour $u$ le facteur qui se simplifie quand on le dérive, et pour $dv$ un facteur que l'on sait intégrer. **LIATE** classe les choix possibles pour $u$ : | Lettre | Type | Exemple | | --- | --- | --- | | L | Logarithme | $\ln x$ | | I | Inverse trigonométrique | $\arctan x$ | | A | Algébrique (polynôme) | $x^2$, $3x + 1$ | | T | Trigonométrique | $\sin x$, $\cos x$ | | E | Exponentielle | $e^x$, $2^x$ | Prenez $u$ dans le premier type présent. LIATE est un repère, pas une loi, mais il fonctionne pour presque tous les exercices de manuel. ## Exemples corrigés **Exemple 1 : $\int x\,e^x\,dx$.** Algébrique passe avant exponentielle, donc $u = x$ et $dv = e^x\,dx$. Alors $du = dx$ et $v = e^x$ : $$\int x\,e^x\,dx = x\,e^x - \int e^x\,dx = x\,e^x - e^x + C$$ **Exemple 2 : $\int x\cos x\,dx$.** Prenons $u = x$, $dv = \cos x\,dx$, donc $du = dx$ et $v = \sin x$ : $$\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C$$ **Exemple 3 : $\int \ln x\,dx$.** Il n'y a qu'un seul facteur, donc on prend $u = \ln x$ et $dv = dx$. Alors $du = \frac{1}{x}\,dx$ et $v = x$ : $$\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - x + C$$ **Exemple 4 : une intégrale définie.** En reprenant l'exemple 1 : $$\int_0^1 x\,e^x\,dx = \big[x\,e^x - e^x\big]_0^1 = (e - e) - (0 - 1) = 1$$ **Exemple 5 : deux intégrations par parties.** Pour $\int x^2 e^x\,dx$, une première intégration avec $u = x^2$ laisse $\int 2x\,e^x\,dx$, qui en demande une seconde. Le résultat est $$\int x^2 e^x\,dx = e^x\left(x^2 - 2x + 2\right) + C$$ **Exemple 6 : l'intégrale réapparaît.** Pour $\int e^x \sin x\,dx$, deux intégrations par parties font réapparaître l'intégrale de départ $I$ avec un signe moins. En résolvant $I = e^x\sin x - e^x\cos x - I$, on obtient $$\int e^x\sin x\,dx = \frac{e^x\left(\sin x - \cos x\right)}{2} + C$$ ## Vérifier son résultat Dérivez avec la règle du produit : vous devez retrouver l'intégrande. Pour l'exemple 2 : $$\frac{d}{dx}\left[x\sin x + \cos x\right] = \sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x$$ La vérification est rapide et détecte la plupart des erreurs de signe. Une bonne habitude : après avoir choisi $u$ et $dv$, écrivez $u$, $du$, $v$ et $dv$ dans un petit tableau à deux lignes et deux colonnes avant de les reporter dans la formule, pour ne rien perdre. ## Erreurs fréquentes 1. **Choisir $u$ à l'envers.** Avec $u = e^x$ et $dv = x\,dx$, la nouvelle intégrale $\int \frac{x^2}{2}e^x\,dx$ est plus difficile que celle de départ. 2. **Oublier le signe moins.** La formule est $uv - \int v\,du$, avec un moins. Quand on intègre deux fois par parties, suivez les signes avec soin. 3. **Oublier d'évaluer $uv$ entre les bornes.** Dans une intégrale définie, $uv$ doit lui aussi être évalué de $a$ à $b$. 4. **Ajouter $+C$ à $v$.** On peut prendre n'importe quelle primitive pour $v$. Un seul $+C$ tout à la fin suffit. Quand un produit est en réalité une composée multipliée par la dérivée de la fonction intérieure, le [changement de variable](/rules/u-substitution-rule) est plus rapide. Pour la méthode du tableau, plus d'entraînement avec LIATE et des exemples plus difficiles, lisez le guide complet de l'[intégration par parties](/blog/integration-by-parts). ## Questions fréquentes ### Quelle est la formule d'intégration par parties ? C'est $\int u\,dv = uv - \int v\,du$. On décompose l'intégrande en un facteur $u$ que l'on dérive et un facteur $dv$ que l'on intègre. ### Que signifie LIATE ? Logarithme, Inverse trigonométrique (fonctions trigonométriques réciproques), Algébrique, Trigonométrique, Exponentielle. Choisissez $u$ dans le type qui apparaît le plus tôt dans la liste ; le reste est $dv$. ### Comment calculer une primitive de ln x ? Prenez $u = \ln x$ et $dv = dx$, donc $du = \frac{1}{x}dx$ et $v = x$. Alors $\int \ln x\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + C$. ### Quand utiliser l'intégration par parties plutôt qu'un changement de variable ? Utilisez le changement de variable quand un facteur est la dérivée d'une fonction intérieure. Utilisez l'intégration par parties pour un produit de fonctions sans lien entre elles, comme un polynôme multiplié par une exponentielle, un logarithme ou une fonction trigonométrique.