# Linéarité de l'intégrale : somme, différence et constante

> La linéarité de l'intégrale : on intègre une somme terme à terme et on sort les constantes. Formules, exemples et erreurs à éviter avec produits et quotients.

Source : https://practicecalculus.com/fr/regles/linearite-de-l-integrale
Mis à jour : 2026-11-03

$$ \int \left[a\,f(x) + b\,g(x)\right]dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx $$

## En bref

- **Règle de la somme:** $\int (f + g)\,dx = \int f\,dx + \int g\,dx$
- **Règle de la différence:** $\int (f - g)\,dx = \int f\,dx - \int g\,dx$
- **Produit par une constante:** $\int k\,f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$ pour toute constante $k$
- **Ne s'applique pas à:** Les produits et les quotients : $\int f g\,dx \ne \int f\,dx \cdot \int g\,dx$
- **Valable pour:** Les intégrales indéfinies comme les intégrales définies

## À retenir

- On peut intégrer une somme ou une différence terme à terme.
- Les facteurs constants peuvent sortir du signe intégrale.
- Il n'existe pas de règle du produit ni du quotient pour les intégrales : développez, séparez, ou utilisez une technique comme le changement de variable.

La **linéarité de l'intégrale** signifie que l'intégration respecte l'addition et la multiplication par une constante. On peut séparer une somme en plusieurs intégrales et sortir les facteurs constants du signe intégrale. Avec la [primitive d'une puissance](/rules/reverse-power-rule), ces règles permettent d'intégrer n'importe quel polynôme en une ligne.

## Les règles de linéarité

Pour des fonctions intégrables $f$ et $g$ et des constantes $a$ et $b$ :

$$\int \left[a\,f(x) + b\,g(x)\right]dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$

Cet unique énoncé contient trois règles :

- **Règle de la somme :** $\int (f + g)\,dx = \int f\,dx + \int g\,dx$
- **Règle de la différence :** $\int (f - g)\,dx = \int f\,dx - \int g\,dx$
- **Produit par une constante :** $\int k\,f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$

Les mêmes règles valent pour les intégrales définies sur un même intervalle :

$$\int_a^b \left[f(x) + g(x)\right]dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx$$

## Pourquoi la linéarité fonctionne

La dérivation est linéaire : $\frac{d}{dx}[aF + bG] = aF' + bG'$. Si $F' = f$ et $G' = g$, alors $aF + bG$ est une primitive de $af + bg$, ce qui est exactement la règle. Pour les intégrales définies, la raison est encore plus visuelle : une somme de Riemann de $f + g$ est la somme des sommes de Riemann de $f$ et de $g$, et dilater une courbe d'un facteur $k$ dilate chaque rectangle, et donc l'aire, du même facteur $k$.

```graph
title: 'Aire sous y = 2x² comparée à l''aire sous y = x² sur [0, 2]'
caption: 'Doubler la fonction double l''aire : $\int_0^2 2x^2\,dx = 2 \cdot \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$.'
x: [-0.5, 2.5]
y: [-1, 9]
functions:
  - expr: 2x^2
    label: y = 2x²
  - expr: x^2
    label: y = x²
    dashed: true
shade: {expr: 2x^2, from: 0, to: 2}
```

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : un polynôme.** On sépare, on sort les constantes, puis on applique la primitive d'une puissance à chaque morceau :

$$\int \left(8x^3 - 6x + 7\right)dx = 8\int x^3\,dx - 6\int x\,dx + \int 7\,dx = 2x^4 - 3x^2 + 7x + C$$

**Exemple 2 : des fonctions de types différents.** La linéarité permet de combiner des règles de familles différentes :

$$\int \left(3\cos x - \frac{2}{x} + 4e^x\right)dx = 3\sin x - 2\ln\lvert x\rvert + 4e^x + C$$

**Exemple 3 : séparer d'abord un quotient.** Il n'existe pas de règle du quotient pour les intégrales, mais on peut diviser chaque terme par le dénominateur :

$$\int \frac{x^2 + 3x - 1}{x}\,dx = \int \left(x + 3 - \frac{1}{x}\right)dx = \frac{x^2}{2} + 3x - \ln\lvert x\rvert + C$$

**Exemple 4 : une intégrale définie.** À partir des valeurs connues $\int_0^1 f(x)\,dx = 4$ et $\int_0^1 g(x)\,dx = -1$ :

$$\int_0^1 \left[2f(x) - 5g(x)\right]dx = 2(4) - 5(-1) = 13$$

## Ce que la linéarité ne permet pas

La linéarité ne concerne que les sommes et les produits par une constante. Les égalités suivantes sont toutes **fausses** en général :

| Tentant mais faux | Pourquoi |
| --- | --- |
| $\int f g\,dx = \int f\,dx \cdot \int g\,dx$ | Pas de règle du produit pour les intégrales |
| $\int \frac{f}{g}\,dx = \frac{\int f\,dx}{\int g\,dx}$ | Pas de règle du quotient pour les intégrales |
| $\int x\,f(x)\,dx = x\int f(x)\,dx$ | $x$ n'est pas une constante |
| $\int \frac{1}{f(x)}\,dx = \frac{1}{\int f(x)\,dx}$ | L'inverse ne passe pas à travers l'intégrale |

Quand l'intégrande est un produit, essayez de le développer, puis pensez au [changement de variable](/rules/u-substitution-rule) ou à l'[intégration par parties](/rules/integration-by-parts-rule).

## Erreurs fréquentes

1. **Sortir la variable de l'intégrale.** Seules les constantes peuvent sortir. Dans $\int 3x\sin x\,dx$, on peut sortir le $3$, pas le $x$.
2. **Intégrer un produit facteur par facteur.** $\int x(x^2+1)\,dx$ doit être développée en $\int (x^3 + x)\,dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + C$.
3. **Séparer un dénominateur.** $\frac{1}{x + 1} \ne \frac{1}{x} + 1$. On peut séparer une fraction selon les termes du numérateur, jamais du dénominateur.
4. **Perdre un signe dans une différence.** Distribuez le signe moins sur chaque terme de la seconde intégrale.

Les règles équivalentes pour les dérivées sont la [règle du produit par une constante](/rules/constant-multiple-rule) et la [dérivée d'une somme](/rules/sum-and-difference-rule). Pour vous entraîner davantage à combiner ces règles, consultez le guide des [primitives](/blog/antiderivatives).

## Questions fréquentes

### Que signifie la linéarité de l'intégrale ?

Cela signifie que l'intégrale de $af + bg$ est égale à $a$ fois l'intégrale de $f$ plus $b$ fois l'intégrale de $g$, pour des constantes $a$ et $b$. En pratique, on sépare les sommes et on sort les constantes.

### Peut-on sortir une variable d'une intégrale ?

Non. Seules les constantes, c'est-à-dire les quantités qui ne dépendent pas de la variable d'intégration, peuvent sortir. $\int x\cos x\,dx$ n'est pas égale à $x\int\cos x\,dx$.

### L'intégrale d'un produit est-elle le produit des intégrales ?

Non. Par exemple, $\int x \cdot x\,dx = \frac{x^3}{3} + C$, mais $\int x\,dx \cdot \int x\,dx = \frac{x^4}{4}$ (aux constantes près). Les produits demandent du calcul algébrique ou une intégration par parties.

### Faut-il un +C séparé pour chaque terme ?

Non. Les différentes constantes s'additionnent en une seule constante arbitraire : on écrit un seul $+C$ à la fin.