# Primitive de x^n : formule, exemples et cas n = −1

> La primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1) + C pour n ≠ −1. Formule, exemples avec racines et puissances négatives, et l'exception ln|x|.

Source : https://practicecalculus.com/fr/regles/primitive-d-une-puissance
Mis à jour : 2026-11-03

$$ \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \ne -1 $$

## En bref

- **S'applique à:** Toute puissance de $x$ d'exposant constant $n \ne -1$
- **En mots:** Ajouter un à l'exposant, puis diviser par le nouvel exposant
- **Exception:** $\int x^{-1}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C$
- **Vérification:** Dériver le résultat avec la règle de la puissance : on doit retrouver $x^n$
- **Règles liées:** Règle de la puissance, linéarité de l'intégrale, changement de variable

## À retenir

- Une primitive de $x^n$ est $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ pour toute constante $n \ne -1$.
- Réécrivez d'abord racines et fractions sous forme de puissances : $\sqrt{x} = x^{1/2}$ et $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$.
- Le cas $n = -1$ est particulier : $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C$.
- Toute intégrale indéfinie doit comporter un $+ C$.

La **primitive d'une puissance** donne une primitive de n'importe quelle puissance de $x$. C'est la [règle de la puissance](/rules/power-rule) appliquée à l'envers : au lieu de diminuer l'exposant et de multiplier, on augmente l'exposant et on divise.

## La formule de la primitive d'une puissance

Pour tout exposant constant $n \ne -1$ :

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

Deux gestes : **ajouter un** à l'exposant, puis **diviser** par le nouvel exposant. Le $+C$ est là parce que toute fonction admet une infinité de primitives qui diffèrent d'une constante.

On peut toujours vérifier le résultat en le dérivant :

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right) = \frac{(n+1)x^{n}}{n+1} = x^n$$

```graph
title: 'Courbe de y = x² et de ses primitives y = x³/3 + C'
caption: 'Chaque courbe en pointillés est $\frac{x^3}{3} + C$ pour une valeur différente de $C$. Elles se déduisent les unes des autres par translation verticale et ont toutes pour pente $x^2$ en chaque $x$.'
x: [-2.5, 2.5]
y: [-4, 5]
functions:
  - expr: x^2
    label: y = x²
  - expr: x^3/3
    label: y = x³/3
    dashed: true
  - expr: x^3/3 + 2
    label: y = x³/3 + 2
    dashed: true
  - expr: x^3/3 - 2
    label: y = x³/3 − 2
    dashed: true
```

## Exemples

| Fonction à intégrer | Réécriture | Primitive |
| --- | --- | --- |
| $x^4$ | $x^4$ | $\frac{x^5}{5} + C$ |
| $x$ | $x^1$ | $\frac{x^2}{2} + C$ |
| $5$ | $5x^0$ | $5x + C$ |
| $\sqrt{x}$ | $x^{1/2}$ | $\frac{2}{3}x^{3/2} + C$ |
| $\frac{1}{x^3}$ | $x^{-3}$ | $-\frac{1}{2x^2} + C$ |
| $\frac{1}{\sqrt{x}}$ | $x^{-1/2}$ | $2\sqrt{x} + C$ |
| $\frac{1}{x}$ | $x^{-1}$ | $\ln\lvert x\rvert + C$ (exception) |

**Exemple : un polynôme.** On combine la formule avec la [linéarité](/rules/integral-linearity-rules) et on intègre terme à terme :

$$\int \left(6x^2 - 4x + 3\right)dx = 2x^3 - 2x^2 + 3x + C$$

**Exemple : une puissance négative.** On réécrit $\frac{4}{x^5}$ sous la forme $4x^{-5}$ :

$$\int 4x^{-5}\,dx = 4 \cdot \frac{x^{-4}}{-4} + C = -\frac{1}{x^4} + C$$

L'exposant passe de $-5$ à $-4$. Ajouter un à un nombre négatif le rend moins négatif.

**Exemple : une puissance fractionnaire.** Pour $\int \sqrt[3]{x}\,dx$, on écrit $x^{1/3}$. Le nouvel exposant est $\frac{4}{3}$, et diviser par $\frac{4}{3}$ revient à multiplier par $\frac{3}{4}$ :

$$\int x^{1/3}\,dx = \frac{3}{4}x^{4/3} + C$$

## L'exception n = −1

Pour $n = -1$, la formule demande de diviser par zéro : elle ne s'applique plus. Une primitive de $x^{-1}$ est le logarithme népérien :

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C$$

La valeur absolue rend le résultat valable aussi pour $x$ négatif. C'est pourquoi $\frac{1}{x}$ a sa propre ligne dans tout tableau de primitives.

## Quand utiliser la primitive d'une puissance

Utilisez-la lorsque la fonction à intégrer est une somme de termes de la forme $kx^n$, éventuellement après réécriture :

- les polynômes, terme par terme ;
- les racines, après conversion en exposants fractionnaires ;
- les termes avec $x$ au dénominateur, après conversion en exposants négatifs ;
- les produits ou quotients que l'on peut d'abord **développer ou séparer**, comme $\frac{x^3 + 1}{x} = x^2 + x^{-1}$.

Si la base n'est pas simplement $x$, comme dans $(3x-2)^5$, il faut un [changement de variable](/rules/u-substitution-rule). Si la variable est dans l'exposant, comme dans $2^x$, il faut la formule exponentielle $\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$.

## Erreurs fréquentes

1. **Diviser par l'ancien exposant.** $\int x^3\,dx = \frac{x^4}{4} + C$, et non $\frac{x^4}{3} + C$.
2. **L'appliquer à un produit.** $\int x(x+1)\,dx$ n'est pas $\frac{x^2}{2}\cdot\left(\frac{x^2}{2}+x\right)$. Développez d'abord en $x^2 + x$.
3. **L'utiliser pour $\frac{1}{x}$.** $\int x^{-1}\,dx$ vaut $\ln\lvert x\rvert + C$, et non $\frac{x^0}{0}$.
4. **Oublier le $+C$.** Une intégrale indéfinie désigne toute une famille de fonctions.
5. **Traiter la puissance d'un binôme comme une puissance de $x$.** $\int (2x+1)^3\,dx \ne \frac{(2x+1)^4}{4} + C$. En dérivant ce résultat, on obtient un facteur $2$ en trop.

Pour une vue d'ensemble des primitives, y compris les formules trigonométriques et exponentielles, lisez le guide complet sur les [primitives](/blog/antiderivatives).

## Questions fréquentes

### Quelle est la formule de la primitive d'une puissance ?

C'est la version intégrale de la règle de la puissance : $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ pour $n \ne -1$. On augmente l'exposant de un et on divise par le nouvel exposant.

### Pourquoi la formule ne marche-t-elle pas pour 1/x ?

Pour $n = -1$, la formule diviserait par $n + 1 = 0$. Une primitive de $\frac{1}{x}$ est en fait $\ln\lvert x\rvert + C$.

### Comment intégrer une racine carrée avec cette formule ?

Écrivez $\sqrt{x}$ sous la forme $x^{1/2}$. Alors $\int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$.

### Quelle est la primitive d'une constante ?

Une constante $k$ s'écrit $kx^0$, donc la formule donne $\int k\,dx = kx + C$.

### Peut-on utiliser cette formule pour (2x + 1)^3 ?

Pas directement, car la base n'est pas simplement $x$. Faites le changement de variable $u = 2x + 1$, ce qui donne $\frac{(2x+1)^4}{8} + C$, ou développez d'abord le cube.