# Propriétés de l'intégrale : Chasles, parité et exemples

> Les propriétés de l'intégrale définie : inversion des bornes, relation de Chasles, parité des fonctions et positivité, avec des exemples corrigés.

Source : https://practicecalculus.com/fr/regles/proprietes-de-l-integrale
Mis à jour : 2026-11-03

$$ \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx $$

## En bref

- **Bornes égales:** $\int_a^a f(x)\,dx = 0$
- **Bornes inversées:** $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$
- **Constante:** $\int_a^b k\,dx = k(b - a)$
- **Fonction impaire:** $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0$
- **Fonction paire:** $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$
- **Croissance:** Si $f(x) \le g(x)$ sur $[a, b]$, alors $\int_a^b f\,dx \le \int_a^b g\,dx$

## À retenir

- Échanger les bornes d'intégration change le signe de l'intégrale.
- On peut couper une intégrale en n'importe quel point $b$ : $\int_a^c = \int_a^b + \int_b^c$ (relation de Chasles).
- Sur un intervalle symétrique, l'intégrale d'une fonction impaire vaut $0$ et celle d'une fonction paire vaut le double de la moitié droite.
- Si $m \le f(x) \le M$ sur $[a, b]$, alors l'intégrale est comprise entre $m(b-a)$ et $M(b-a)$.

Les **propriétés de l'intégrale définie** sont les règles qui permettent de manipuler $\int_a^b f(x)\,dx$ sans la recalculer entièrement : échanger les bornes, découper l'intervalle, exploiter la symétrie et estimer sa valeur. Elles découlent toutes de l'interprétation de l'intégrale comme aire algébrique, ou du [théorème fondamental de l'analyse](/blog/fundamental-theorem-of-calculus).

## Les propriétés

On suppose $f$ et $g$ intégrables sur les intervalles considérés.

| Propriété | Énoncé |
| --- | --- |
| Bornes égales | $\int_a^a f(x)\,dx = 0$ |
| Bornes inversées | $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$ |
| Constante | $\int_a^b k\,dx = k(b-a)$ |
| Linéarité | $\int_a^b [\alpha f + \beta g]\,dx = \alpha\int_a^b f\,dx + \beta\int_a^b g\,dx$ |
| Relation de Chasles | $\int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx = \int_a^c f\,dx$ |
| Croissance | $f \le g$ sur $[a,b]$ $\Rightarrow$ $\int_a^b f\,dx \le \int_a^b g\,dx$ |
| Encadrement | $m \le f \le M$ sur $[a,b]$ $\Rightarrow$ $m(b-a) \le \int_a^b f\,dx \le M(b-a)$ |
| Fonction impaire | $f(-x) = -f(x)$ $\Rightarrow$ $\int_{-a}^{a} f\,dx = 0$ |
| Fonction paire | $f(-x) = f(x)$ $\Rightarrow$ $\int_{-a}^{a} f\,dx = 2\int_0^a f\,dx$ |

Les propriétés de croissance et d'encadrement supposent $a < b$. La relation de Chasles est vraie **quel que soit** l'ordre de $a$, $b$ et $c$, du moment que $f$ est intégrable sur les intervalles, grâce à la règle des bornes inversées.

## Pourquoi elles sont vraies

Si $F$ est une primitive de $f$, alors $\int_a^b f\,dx = F(b) - F(a)$. Chaque propriété s'obtient alors en une ligne de calcul :

- bornes égales : $F(a) - F(a) = 0$ ;
- bornes inversées : $F(a) - F(b) = -\left(F(b) - F(a)\right)$ ;
- relation de Chasles : $\left(F(b) - F(a)\right) + \left(F(c) - F(b)\right) = F(c) - F(a)$.

La linéarité est traitée sur sa propre page : [linéarité de l'intégrale](/rules/integral-linearity-rules).

## Symétrie : fonctions paires et impaires

```graph
title: 'Aire algébrique de la fonction impaire y = x³ − 2x sur [−1,5 ; 1,5]'
caption: 'L''aire à gauche est l''image miroir de l''aire à droite, avec le signe opposé, donc $\int_{-1.5}^{1.5} (x^3 - 2x)\,dx = 0$.'
x: [-2, 2]
y: [-2, 2]
functions:
  - expr: x^3 - 2x
    label: y = x³ − 2x
shade: {expr: x^3 - 2x, from: -1.5, to: 1.5}
```

Une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine : chaque portion d'aire positive a une portion d'aire négative correspondante. Une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des $y$ : les deux moitiés sont égales et on peut doubler l'une d'elles. Vérifier la parité en premier peut transformer un long calcul en une seule ligne.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : fonction impaire.** $x^5 - 4x^3 + \sin x$ est impaire, donc

$$\int_{-3}^{3} \left(x^5 - 4x^3 + \sin x\right)dx = 0$$

**Exemple 2 : fonction paire.** $x^2$ est paire, donc

$$\int_{-1}^{1} x^2\,dx = 2\int_0^1 x^2\,dx = 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

**Exemple 3 : relation de Chasles et bornes inversées.** On sait que $\int_0^5 f(x)\,dx = 10$ et $\int_0^2 f(x)\,dx = 3$ :

$$\int_2^5 f(x)\,dx = 10 - 3 = 7, \qquad \int_5^2 f(x)\,dx = -7$$

**Exemple 4 : une valeur absolue.** On coupe là où l'expression à l'intérieur change de signe. Sur $[-1, 0]$, $\lvert x\rvert = -x$ ; sur $[0, 2]$, $\lvert x\rvert = x$ :

$$\int_{-1}^{2} \lvert x\rvert\,dx = \int_{-1}^{0} (-x)\,dx + \int_0^2 x\,dx = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$$

**Exemple 5 : estimer par encadrement.** Sur $[0, 1]$, $e^{-1} \le e^{-x^2} \le 1$, donc

$$0.37 \approx e^{-1} \le \int_0^1 e^{-x^2}\,dx \le 1$$

Cette intégrale n'a pas de primitive élémentaire, et pourtant l'encadrement la situe précisément. Sa valeur réelle est d'environ $0.747$.

## Erreurs fréquentes

1. **Utiliser la parité sur un intervalle non symétrique.** $\int_{-1}^{2} x^3\,dx$ ne vaut pas $0$. L'intervalle doit être de la forme $[-a, a]$.
2. **Déclarer une fonction impaire sans vérifier.** $x^3 + 1$ n'est ni paire ni impaire, donc $\int_{-1}^{1} (x^3 + 1)\,dx = 2$, et non $0$.
3. **Oublier le changement de signe** quand on inverse les bornes.
4. **Confondre aire algébrique et aire totale.** $\int_{-1}^{1} x\,dx = 0$, mais l'aire totale coloriée vaut $1$. Pour une aire, on intègre $\lvert f(x)\rvert$, comme pour l'[aire entre deux courbes](/blog/area-between-curves).

Pour voir comment ces propriétés se rattachent aux sommes de Riemann et au calcul des intégrales, consultez les guides sur les [sommes de Riemann](/blog/riemann-sums) et le [théorème fondamental de l'analyse](/blog/fundamental-theorem-of-calculus).

## Questions fréquentes

### Que se passe-t-il quand on échange les bornes d'une intégrale ?

L'intégrale change de signe : $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$. Cela découle directement du calcul de $F(a) - F(b)$ au lieu de $F(b) - F(a)$.

### Que vaut l'intégrale d'une fonction impaire de -a à a ?

Elle vaut $0$, car l'aire algébrique à gauche compense exactement l'aire algébrique à droite. Par exemple, $\int_{-2}^{2} x^3\,dx = 0$.

### Peut-on couper une intégrale en deux ?

Oui. Pour tout $b$, $\int_a^c f\,dx = \int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx$ : c'est la relation de Chasles. C'est ainsi qu'on intègre les fonctions définies par morceaux et les valeurs absolues.

### L'intégrale de a à a est-elle toujours nulle ?

Oui. Un intervalle de largeur nulle n'a pas d'aire, donc $\int_a^a f(x)\,dx = 0$ pour toute fonction $f$ définie en $a$.