# Règle de L'Hôpital : formule, conditions et exemples corrigés

> La règle de L'Hôpital lève les formes indéterminées 0/0 et ∞/∞ en dérivant numérateur et dénominateur. Conditions exactes, exemples et autres formes.

Source : https://practicecalculus.com/fr/regles/regle-de-l-hopital
Mis à jour : 2026-11-03

$$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$

## En bref

- **S'applique à:** Limites de la forme indéterminée $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$
- **En mots:** Dériver séparément le numérateur et le dénominateur, puis reprendre la limite
- **Exige aussi:** Que la nouvelle limite $\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ existe ou vaille $\pm\infty$
- **Fonctionne pour:** $x \to a$, les limites à gauche et à droite et $x \to \pm\infty$
- **Autres formes:** $0 \cdot \infty$, $\infty - \infty$, $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$ après réécriture

## À retenir

- N'utilisez la règle de L'Hôpital que pour $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$. Vérifiez la forme d'abord, à chaque fois.
- Dérivez séparément le numérateur et le dénominateur. Ce n'est pas la règle du quotient.
- On peut appliquer la règle plusieurs fois tant que la forme reste indéterminée.
- Réécrivez $0 \cdot \infty$, $\infty - \infty$ et les formes exponentielles sous forme de fraction avant de l'utiliser.

La **règle de L'Hôpital** permet de calculer les limites de fractions qui donnent $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$. Au lieu de la fraction de départ, on prend la limite du quotient de la dérivée du numérateur par la dérivée du dénominateur. C'est souvent le moyen le plus rapide de venir à bout d'une limite que l'algèbre ne simplifie pas facilement.

## La règle et ses conditions

Supposons que $f$ et $g$ sont dérivables sur un intervalle ouvert contenant $a$ (sauf peut-être en $a$), et que $g'(x) \ne 0$ sur cet intervalle pour $x \ne a$. Si

$$\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0 \quad \text{ou} \quad \lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty,\ \lim_{x \to a} g(x) = \pm\infty$$

alors

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

à condition que la limite de droite existe ou vaille $\pm\infty$. Le résultat reste vrai pour les limites à gauche et à droite et pour $x \to \infty$ ou $x \to -\infty$.

Si la limite de droite n'existe pas, la règle ne permet pas de conclure. La limite de départ peut quand même exister.

```graph
title: 'Courbe de y = sin(x)/x qui tend vers 1 en x = 0'
caption: 'En $x = 0$, la fraction est de la forme $\frac{0}{0}$. La règle de L''Hôpital donne $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$, ce que confirme la courbe.'
x: [-10, 10]
y: [-0.5, 1.3]
functions:
  - expr: sin(x)/x
    label: y = sin(x)/x
points:
  - [0, 1, '(0, 1)', open]
```

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : $\frac{0}{0}$.** En $x = 0$, $\frac{\sin x}{x}$ est de la forme $\frac{0}{0}$ :

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$$

(La dérivée de $\sin x$ se démontre elle-même à l'aide de cette limite : dans un cours axé sur les démonstrations, on utiliserait plutôt le théorème des gendarmes. Pour le calcul, le raccourci convient.)

**Exemple 2 : appliquer la règle deux fois.** Chaque étape reste de la forme $\frac{0}{0}$ jusqu'à la dernière :

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}$$

**Exemple 3 : $\frac{\infty}{\infty}$.** Quand $x \to \infty$, $\ln x$ et $x$ tendent tous deux vers l'infini :

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{1} = 0$$

Donc $x$ croît plus vite que $\ln x$.

**Exemple 4 : $0 \cdot \infty$.** On réécrit d'abord le produit sous forme de fraction. Quand $x \to 0^+$, $x \ln x$ est de la forme $0 \cdot (-\infty)$ :

$$\lim_{x \to 0^+} x \ln x = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$$

## Autres formes indéterminées

| Forme | Comment la réécrire |
| --- | --- |
| $0 \cdot \infty$ | Écrire $fg$ sous la forme $\frac{f}{1/g}$ ou $\frac{g}{1/f}$ |
| $\infty - \infty$ | Regrouper en une seule fraction (dénominateur commun ou quantité conjuguée) |
| $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$ | Poser $y = f^g$, prendre $\ln y = g \ln f$, calculer cette limite, puis passer à l'exponentielle |

Par exemple, avec $y = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ on obtient $\ln y = \frac{\ln(1 + 1/x)}{1/x}$, qui est de la forme $\frac{0}{0}$ quand $x \to \infty$. La règle donne $\ln y \to 1$, donc $y \to e$.

## Erreurs fréquentes

1. **Utiliser la règle quand la forme n'est pas indéterminée.** $\lim_{x \to 0} \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{1}{2}$ par [substitution directe](/rules/direct-substitution). Dériver donnerait à tort $1$.
2. **Utiliser la règle du quotient.** Dérivez $f$ et $g$ séparément. Ne calculez pas la dérivée de $\frac{f}{g}$ avec la [règle du quotient](/rules/quotient-rule).
3. **Sauter la réécriture.** La règle ne s'applique qu'à une fraction. Transformez d'abord produits, différences et puissances en fraction.
4. **Ne pas revérifier la forme.** Avant chaque nouvelle application, assurez-vous que la nouvelle limite est encore de la forme $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$.

Pour davantage d'exemples, notamment les limites en l'infini et les formes exponentielles, lisez le guide complet sur la [règle de L'Hôpital](/blog/lhopitals-rule).

## Questions fréquentes

### Quand peut-on utiliser la règle de L'Hôpital ?

Quand la substitution directe donne $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$, que $f$ et $g$ sont dérivables au voisinage du point, que $g'(x) \ne 0$ au voisinage de ce point, et que la limite de $\frac{f'}{g'}$ existe ou est infinie.

### La règle de L'Hôpital est-elle la même chose que la règle du quotient ?

Non. La règle de L'Hôpital prend séparément la dérivée du numérateur et celle du dénominateur. La règle du quotient calcule la dérivée de la fraction entière et n'a rien à voir avec cette limite.

### Peut-on appliquer la règle de L'Hôpital plusieurs fois ?

Oui. Si la nouvelle limite est encore $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$, appliquez de nouveau la règle. Vérifiez la forme avant chaque application.

### Comment utiliser la règle de L'Hôpital pour la forme 1 puissance infini ?

Prenez le logarithme népérien pour transformer la puissance en produit, réécrivez ce produit sous forme de fraction, appliquez la règle, puis passez à l'exponentielle.