# Dérivée de x^n, la règle de la puissance : formule et exemples > La règle de la puissance : la dérivée de x^n est n·x^(n−1). Formule, exemples avec exposants négatifs et fractionnaires, démonstration et erreurs fréquentes. Source : https://practicecalculus.com/fr/regles/regle-de-la-puissance Mis à jour : 2026-11-03 $$ \frac{d}{dx}\, x^n = n\,x^{n-1} $$ ## En bref - **S'applique à:** Toute puissance de $x$ avec un exposant constant $n$ (positif, négatif, fractionnaire ou décimal) - **En mots:** On descend l'exposant devant, puis on retranche un à l'exposant - **Ne s'applique pas à:** Aux exponentielles comme $2^x$ ou $e^x$, où la variable est dans l'exposant - **Version intégrale:** $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ pour $n \ne -1$ - **Règles liées:** Produit par une constante, dérivée d'une somme, dérivation en chaîne ## À retenir - La dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$ pour tout exposant constant $n$. - Réécrivez d'abord les racines et les fractions sous forme de puissances : $\sqrt{x} = x^{1/2}$ et $\frac{1}{x^3} = x^{-3}$. - La règle de la puissance ne s'applique pas aux fonctions exponentielles comme $2^x$. La **règle de la puissance** est le premier raccourci de dérivation que la plupart des élèves apprennent, et celui qu'ils utilisent le plus. Elle dérive n'importe quelle puissance de $x$ en une seule étape, sans passer par les limites. ## La formule de la règle de la puissance Pour tout exposant constant $n$ : $$\frac{d}{dx}\, x^n = n\,x^{n-1}$$ Deux gestes : **descendre l'exposant** comme coefficient, puis **retrancher un** à l'exposant. ```graph title: 'Courbe de y = x³ et de sa dérivée y = 3x²' caption: 'Là où $x^3$ est raide, sa dérivée $3x^2$ est grande. En $x = 0$, la courbe est momentanément plate, et $3x^2 = 0$.' x: [-2.2, 2.2] y: [-6, 8] functions: - expr: x^3 label: y = x³ - expr: 3x^2 label: y = 3x² (dérivée) dashed: true ``` ## Exemples | Fonction | Réécriture | Dérivée | | --- | --- | --- | | $x^5$ | $x^5$ | $5x^4$ | | $x$ | $x^1$ | $1$ | | $7$ | $7x^0$ | $0$ | | $\frac{1}{x^2}$ | $x^{-2}$ | $-2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$ | | $\sqrt{x}$ | $x^{1/2}$ | $\frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ | | $\sqrt[3]{x^2}$ | $x^{2/3}$ | $\frac{2}{3}x^{-1/3}$ | **Exemple : un polynôme.** On combine la règle de la puissance avec la [dérivée d'une somme](/rules/sum-and-difference-rule) et la [règle du produit par une constante](/rules/constant-multiple-rule) : $$\frac{d}{dx}\left(4x^3 - 5x^2 + 2x - 9\right) = 12x^2 - 10x + 2$$ **Exemple : une puissance négative.** Pour dériver $f(x) = \frac{3}{x^4}$, on la réécrit sous la forme $3x^{-4}$ : $$f'(x) = 3 \cdot (-4)x^{-5} = -\frac{12}{x^5}$$ Remarquez que l'exposant passe de $-4$ à $-5$, et non à $-3$. Retrancher un à un nombre négatif le rend encore plus négatif. ## Quand utiliser la règle de la puissance Utilisez-la dès que vous voyez une variable élevée à une puissance **constante**, après une éventuelle réécriture. En pratique, cela concerne : - les polynômes, terme par terme ; - les racines, après les avoir converties en exposants fractionnaires ; - les termes avec $x$ au dénominateur, après les avoir convertis en exposants négatifs ; - la couche extérieure d'une fonction comme $(x^2+1)^5$, avec la dérivation en chaîne. Si l'exposant contient $x$, comme dans $x^x$ ou $3^x$, la règle de la puissance n'est pas le bon outil. Il faut alors les règles des exponentielles ou la dérivation logarithmique. ## La règle à l'envers : l'intégration L'intégration défait la dérivation, donc la règle de la puissance a une image miroir. Pour intégrer $x^n$, on **ajoute un** à l'exposant, puis on **divise** par le nouvel exposant : $$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \qquad n \ne -1$$ Par exemple, $\int x^3\,dx = \frac{x^4}{4} + C$. La seule exception est $n = -1$, pour laquelle $\int x^{-1}\,dx = \ln|x| + C$. Voir la [primitive d'une puissance](/rules/reverse-power-rule). ## Pourquoi la règle de la puissance fonctionne Pour un exposant entier, on développe $(x+h)^n$ avec la formule du binôme dans la [définition de la dérivée par une limite](/blog/limit-definition-of-the-derivative) : $$\frac{(x+h)^n - x^n}{h} = \frac{nx^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n}{h} = nx^{n-1} + h(\ldots)$$ Quand $h \to 0$, tous les termes qui contiennent un $h$ disparaissent, et il reste $nx^{n-1}$. La règle s'étend à tous les exposants réels grâce à la dérivation logarithmique. ## Erreurs fréquentes 1. **Retrancher un avant de descendre l'exposant.** $\frac{d}{dx}x^4$ vaut $4x^3$, et non $3x^3$. 2. **L'utiliser sur des exponentielles.** $\frac{d}{dx}2^x \ne x \cdot 2^{x-1}$. La variable est dans l'exposant, il faut donc la [dérivée de l'exponentielle](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions). 3. **Ne pas réécrire d'abord.** On ne peut pas appliquer la règle de la puissance à $\frac{1}{x^2}$ avant de l'écrire $x^{-2}$. 4. **Oublier la dérivation en chaîne.** Pour $(3x+1)^4$, la règle de la puissance ne donne qu'une partie de la réponse. Il faut aussi multiplier par la dérivée de l'intérieur, $3$. Voir la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule). Pour une explication plus détaillée avec davantage d'exercices, lisez le guide complet sur [la règle de la puissance](/blog/power-rule). ## Questions fréquentes ### Qu'est-ce que la règle de la puissance en analyse ? C'est le raccourci de dérivation $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$. On multiplie par l'exposant, puis on diminue l'exposant de un. ### La règle fonctionne-t-elle avec des exposants négatifs ou fractionnaires ? Oui. Elle fonctionne pour tout exposant réel constant. Par exemple $\frac{d}{dx}x^{-2} = -2x^{-3}$ et $\frac{d}{dx}x^{1/2} = \frac{1}{2}x^{-1/2}$. ### Que donne la règle de la puissance pour une constante ? Une constante $c$ peut s'écrire $cx^0$, et la règle de la puissance donne $0 \cdot cx^{-1} = 0$. La dérivée de toute constante est nulle. ### Pourquoi la règle de la puissance ne marche-t-elle pas pour 2^x ? Dans $2^x$, la variable est dans l'exposant : c'est une fonction exponentielle, pas une puissance. Sa dérivée est $2^x \ln 2$.