# Dérivée du produit par une constante : formule et exemples > La dérivée de c·f(x) est c·f'(x). La formule du produit par une constante, des exemples corrigés, une démonstration rapide et les erreurs fréquentes. Source : https://practicecalculus.com/fr/regles/regle-du-produit-par-une-constante Mis à jour : 2026-11-03 $$ \frac{d}{dx}\,[c\,f(x)] = c\,f'(x) $$ ## En bref - **S'applique à:** Une constante $c$ multipliée par une fonction dérivable $f$ quelconque - **En mots:** On garde la constante, on dérive la fonction - **Inclut la division:** Diviser par une constante $k$, c'est multiplier par $\frac{1}{k}$ - **Version intégrale:** $\int c\,f(x)\,dx = c \int f(x)\,dx$ - **Règles liées:** Règle de la puissance, dérivée d'une somme, règle du produit ## À retenir - Un facteur constant traverse la dérivée sans changer : $(cf)' = cf'$. - Diviser par une constante compte aussi : $\frac{d}{dx}\frac{x^4}{8} = \frac{4x^3}{8} = \frac{x^3}{2}$. - Inutile d'utiliser la règle du produit quand l'un des facteurs est une constante. La **règle du produit par une constante** dit qu'un facteur constant peut sortir de la dérivée. Pour dériver $c\,f(x)$, on garde le $c$ et on dérive $f$. Avec la [règle de la puissance](/rules/power-rule) et la [dérivée d'une somme](/rules/sum-and-difference-rule), elle permet de dériver n'importe quel polynôme de tête. ## La formule Si $c$ est une constante et $f$ est dérivable, alors $$\frac{d}{dx}\,[c\,f(x)] = c\,f'(x)$$ Géométriquement, multiplier une fonction par $c$ étire sa courbe verticalement d'un facteur $c$. Toutes les pentes sont elles aussi multipliées par $c$. ```graph title: 'Courbes de y = x² et y = 3x² avec leurs tangentes en x = 1' caption: 'En $x = 1$, la pente de $x^2$ vaut $2$. Tripler la fonction triple la pente, qui passe à $6$.' x: [-2, 2.5] y: [-2, 8] functions: - expr: x^2 label: y = x² - expr: 3x^2 label: y = 3x² - expr: 2x - 1 label: pente 2 en x = 1 dashed: true - expr: 6x - 3 label: pente 6 en x = 1 dashed: true points: - [1, 1, ''] - [1, 3, ''] ``` ## Exemples | Fonction | Dérivée | | --- | --- | | $5x^3$ | $5 \cdot 3x^2 = 15x^2$ | | $-4\sin x$ | $-4\cos x$ | | $2e^x$ | $2e^x$ | | $\frac{x^2}{7}$ | $\frac{2x}{7}$ | | $\pi x$ | $\pi$ | | $\frac{3}{x^2} = 3x^{-2}$ | $-6x^{-3} = -\frac{6}{x^3}$ | **Exemple : une constante au dénominateur.** La fonction $\frac{1}{3x}$ a une variable au dénominateur, on la réécrit donc d'abord sous la forme $\frac{1}{3}x^{-1}$ : $$\frac{d}{dx}\,\frac{1}{3}x^{-1} = \frac{1}{3}\cdot(-1)x^{-2} = -\frac{1}{3x^2}$$ **Exemple : avec la dérivée d'une somme.** Chaque terme garde son coefficient : $$\frac{d}{dx}\left(6x^4 - \frac{1}{2}x^2 + 3\cos x\right) = 24x^3 - x - 3\sin x$$ ## Reconnaître un facteur constant Un facteur constant est un facteur qui ne change pas quand $x$ varie. Cherchez-le aux endroits suivants : - **Un nombre devant un terme**, comme le $5$ dans $5x^3$ ou le $-4$ dans $-4\sin x$. - **Un nombre au dénominateur**, comme le $7$ dans $\frac{x^2}{7}$. Diviser par $7$ revient à multiplier par $\frac{1}{7}$. - **Une constante nommée**, comme $\pi$, $e^2$ ou $\ln 3$. Elles ressemblent à des fonctions ou à des puissances, mais elles ne contiennent aucun $x$ : ce sont simplement des nombres. - **Une lettre qui représente une valeur fixe**, comme $a$, $k$ ou $m$ dans une formule de physique. Dans $\frac{d}{dx}\,k x^2 = 2kx$, le $k$ est traité exactement comme un nombre. Si le facteur contient $x$ quelque part, ce n'est pas une constante, et il faut alors la [règle du produit](/rules/product-rule) ou la [règle du quotient](/rules/quotient-rule). ## Pourquoi la règle fonctionne D'après la [définition de la dérivée par une limite](/blog/limit-definition-of-the-derivative), la constante se factorise dans le taux d'accroissement, puis sort de la limite : $$\lim_{h \to 0} \frac{c\,f(x+h) - c\,f(x)}{h} = c \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = c\,f'(x)$$ La deuxième étape utilise la règle du produit par une constante pour les limites, issue des [opérations sur les limites](/rules/limit-laws). ## Linéarité La règle du produit par une constante et la dérivée d'une somme disent ensemble que la dérivation est **linéaire** : $$\frac{d}{dx}\,[a\,f(x) + b\,g(x)] = a\,f'(x) + b\,g'(x)$$ pour toutes constantes $a$ et $b$. L'intégration possède la même propriété, c'est pourquoi $\int 5x^2\,dx = 5\int x^2\,dx$. ## Erreurs fréquentes 1. **Utiliser la règle du produit sans nécessité.** Pour $7x^3$, la règle du produit donne $0 \cdot x^3 + 7 \cdot 3x^2$, ce qui est juste mais lent. Écrivez directement $21x^2$. 2. **La confondre avec la dérivée d'une constante.** $\frac{d}{dx}\,8x = 8$, et non $0$. Seule une constante isolée devient $0$. 3. **Sortir une constante de l'argument d'une fonction.** $\sin(3x)$ n'est pas $3\sin x$. Une constante à l'intérieur de la fonction demande la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) : $\frac{d}{dx}\sin(3x) = 3\cos(3x)$. 4. **Traiter une variable comme une constante.** Dans $x\,e^x$, le $x$ n'est pas une constante, il faut donc la [règle du produit](/rules/product-rule). Pour vous entraîner à combiner ces règles, consultez le guide complet sur [la règle de la puissance](/blog/power-rule). ## Questions fréquentes ### Que dit la règle du produit par une constante ? Elle dit que $\frac{d}{dx}[c\,f(x)] = c\,f'(x)$. Une constante qui multiplie une fonction reste devant, et on ne dérive que la fonction. ### Quelle différence entre la dérivée d'une constante et la dérivée d'un produit par une constante ? Une constante seule a pour dérivée $0$. Une constante qui multiplie une fonction est conservée, donc $\frac{d}{dx}\,5 = 0$ mais $\frac{d}{dx}\,5x = 5$. ### Peut-on utiliser la règle du produit à la place ? Oui, on obtient le même résultat puisque la dérivée de la constante vaut $0$, mais c'est du travail en plus. La règle du produit par une constante est le raccourci. ### La règle fonctionne-t-elle avec une constante au dénominateur ? Oui. $\frac{f(x)}{k}$ vaut $\frac{1}{k}f(x)$, donc sa dérivée est $\frac{f'(x)}{k}$. Une variable au dénominateur, c'est différent : il faut la règle de la puissance ou la règle du quotient.