# Dérivée d'un produit (uv)' = u'v + uv' : formule et exemples

> La dérivée d'un produit f·g est f'g + fg'. La formule, des exemples corrigés, la version à trois facteurs, une démonstration courte et les erreurs fréquentes.

Source : https://practicecalculus.com/fr/regles/regle-du-produit
Mis à jour : 2026-11-03

$$ \frac{d}{dx}\,[f(x)\,g(x)] = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x) $$

## En bref

- **S'applique à:** Un produit de deux fonctions dérivables, qui dépendent toutes deux de $x$
- **En mots:** Dérivée de la première fois la seconde, plus la première fois la dérivée de la seconde
- **Trois facteurs:** $(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'$
- **Inutile quand:** L'un des facteurs est une constante (utilisez le produit par une constante)
- **Version intégrale:** L'intégration par parties

## À retenir

- La dérivée de $fg$ est $f'g + fg'$, et non $f'g'$.
- Chaque terme dérive un seul facteur et laisse l'autre tel quel.
- Pas besoin de la règle du produit quand l'un des facteurs est une constante, et pensez à développer les produits de polynômes simples.

La **règle du produit** indique comment dériver deux fonctions multipliées entre elles. La dérivée d'un produit n'est **pas** le produit des dérivées. On dérive plutôt un facteur à la fois et on additionne les résultats.

## La formule de la règle du produit

Si $f$ et $g$ sont dérivables, alors

$$\frac{d}{dx}\,[f(x)\,g(x)] = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x)$$

Une façon courante de la dire : **dérivée de la première fois la seconde, plus la première fois la dérivée de la seconde.** En abrégé, $(fg)' = f'g + fg'$.

Pour trois facteurs, le schéma continue, avec un seul facteur dérivé par terme :

$$(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'$$

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : une puissance fois une fonction trigonométrique.** Posons $f = x^2$ et $g = \sin x$, donc $f' = 2x$ et $g' = \cos x$ :

$$\frac{d}{dx}\,x^2\sin x = 2x\sin x + x^2\cos x$$

**Exemple 2 : une puissance fois une exponentielle.** Avec $f = x$ et $g = e^x$ :

$$\frac{d}{dx}\,x e^x = 1 \cdot e^x + x\,e^x = (x + 1)\,e^x$$

**Exemple 3 : un logarithme.** Avec $f = x$ et $g = \ln x$ :

$$\frac{d}{dx}\,x\ln x = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$$

**Exemple 4 : deux polynômes, vérifié en développant.** Pour $(3x + 1)(x^2 - 2)$ :

$$3(x^2 - 2) + (3x + 1)(2x) = 3x^2 - 6 + 6x^2 + 2x = 9x^2 + 2x - 6$$

En développant d'abord, on obtient $3x^3 + x^2 - 6x - 2$, dont la dérivée est aussi $9x^2 + 2x - 6$.

**Exemple 5 : trois facteurs.** Pour $x\,e^x\sin x$ :

$$\frac{d}{dx}\,x e^x \sin x = e^x\sin x + x e^x\sin x + x e^x\cos x$$

## Quand utiliser la règle du produit

Utilisez-la quand deux facteurs (ou plus) **dépendent tous de $x$** :

| Expression | Règle du produit ? |
| --- | --- |
| $x^3\cos x$ | Oui |
| $e^x \ln x$ | Oui |
| $5\sin x$ | Non, $5$ est une constante : [produit par une constante](/rules/constant-multiple-rule) |
| $\sin(x^2)$ | Non, c'est une composée : [dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) |
| $\frac{x^2}{x + 1}$ | Utilisez la [règle du quotient](/rules/quotient-rule), ou la règle du produit sur $x^2(x+1)^{-1}$ |

Beaucoup de dérivées demandent à la fois la règle du produit et la dérivation en chaîne. Pour $x^2 e^{3x}$, la règle du produit sépare les facteurs et la dérivation en chaîne traite $e^{3x}$ : le résultat est $2x e^{3x} + 3x^2 e^{3x}$.

## Pourquoi la règle du produit fonctionne

Partez de la [définition de la dérivée par une limite](/blog/limit-definition-of-the-derivative) et ajoutez puis retranchez $f(x+h)g(x)$ au numérateur :

$$\frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h} = f(x+h)\,\frac{g(x+h) - g(x)}{h} + g(x)\,\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

Quand $h \to 0$, $f(x+h) \to f(x)$ car une fonction dérivable est continue, et les deux taux d'accroissement deviennent $g'(x)$ et $f'(x)$. Il reste $f(x)g'(x) + g(x)f'(x)$.

Imaginez un rectangle de côtés $f$ et $g$. Quand les deux côtés augmentent un peu, l'aire gagne une bande de taille $f'g$ le long d'un côté et une bande de taille $fg'$ le long de l'autre.

## Erreurs fréquentes

1. **Multiplier les dérivées.** $\frac{d}{dx}\,x^2\sin x \ne 2x\cos x$. Il faut deux termes.
2. **Dériver les deux facteurs dans le même terme.** Chaque terme contient exactement un facteur dérivé.
3. **L'utiliser pour un produit par une constante.** Cela marche, mais fait perdre du temps. $\frac{d}{dx}\,4x^3$ vaut simplement $12x^2$.
4. **Oublier la dérivation en chaîne dans un facteur.** Dans $x\sin(2x)$, la dérivée de $\sin(2x)$ est $2\cos(2x)$, donc la réponse est $\sin(2x) + 2x\cos(2x)$.

En intégrant la règle du produit, on obtient l'[intégration par parties](/rules/integration-by-parts-rule). Pour davantage d'exemples et une comparaison avec la règle du quotient, lisez le guide complet sur [les règles du produit et du quotient](/blog/product-and-quotient-rules).

## Questions fréquentes

### Quelle est la formule de la dérivée d'un produit ?

La règle du produit dit que $\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$. On dérive un facteur à la fois et on additionne les deux résultats.

### L'ordre compte-t-il dans la règle du produit ?

Non. L'addition est commutative, donc $f'g + fg'$ et $fg' + f'g$ sont égaux. L'ordre ne compte que dans la règle du quotient, qui contient une soustraction.

### Comment dériver un produit de trois fonctions ?

On dérive un facteur à la fois et on additionne : $(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'$. Chaque terme contient exactement un facteur dérivé.

### Quand utiliser la règle du produit plutôt que développer ?

Développez quand le produit est formé de deux polynômes courts. Utilisez la règle du produit quand un facteur est une fonction trigonométrique, exponentielle ou logarithme, ou quand le développement serait long.