# Dérivée d'un quotient (u/v)' : formule, astuce et exemples

> La dérivée d'un quotient : (f/g)' = (f'g − fg')/g². La formule, un moyen mnémotechnique, des exemples corrigés, quand l'éviter et les erreurs fréquentes.

Source : https://practicecalculus.com/fr/regles/regle-du-quotient
Mis à jour : 2026-11-03

$$ \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{[g(x)]^2} $$

## En bref

- **S'applique à:** Un quotient de deux fonctions dérivables, partout où $g(x) \ne 0$
- **En mots:** Dérivée du haut fois le bas, moins le haut fois la dérivée du bas, le tout sur le bas au carré
- **L'ordre compte:** Oui, le numérateur contient une soustraction, donc on commence par $f'g$
- **À éviter quand:** Le dénominateur est une constante ou une simple puissance de $x$
- **Se déduit de:** La règle du produit et la dérivation en chaîne appliquées à $f \cdot g^{-1}$

## À retenir

- La dérivée de $\frac{f}{g}$ est $\frac{f'g - fg'}{g^2}$. Le signe moins impose de respecter l'ordre.
- Moyen mnémotechnique : dérivée du haut fois le bas, moins le haut fois la dérivée du bas, sur le bas au carré.
- Si le dénominateur est une constante ou une simple puissance de $x$, réécrivez l'expression et évitez la règle du quotient.

La **règle du quotient** donne la dérivée d'une fonction divisée par une autre. Comme la [règle du produit](/rules/product-rule), elle n'est pas ce que l'on devinerait au premier abord : la dérivée de $\frac{f}{g}$ n'est pas $\frac{f'}{g'}$. Le numérateur contient une soustraction, donc l'ordre des termes compte.

## La formule de la règle du quotient

Si $f$ et $g$ sont dérivables et $g(x) \ne 0$, alors

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{[g(x)]^2}$$

Pour la retenir, avec « le haut » pour le numérateur et « le bas » pour le dénominateur :

> **Dérivée du haut fois le bas, moins le haut fois la dérivée du bas, le tout sur le bas au carré.**

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : une fonction rationnelle.** Pour $\frac{x^2}{x + 1}$, on prend $f = x^2$, $f' = 2x$, $g = x + 1$, $g' = 1$ :

$$\frac{2x(x+1) - x^2(1)}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}$$

**Exemple 2 : simplifier le numérateur.** Pour $\frac{3x - 1}{x^2 + 1}$ :

$$\frac{3(x^2 + 1) - (3x - 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{3x^2 + 3 - 6x^2 + 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-3x^2 + 2x + 3}{(x^2 + 1)^2}$$

**Exemple 3 : la dérivée de $\tan x$.** On écrit $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ :

$$\frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$$

**Exemple 4 : une exponentielle sur une puissance.** Pour $\frac{e^x}{x}$ :

$$\frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{e^x(x - 1)}{x^2}$$

```graph
title: 'Courbe de y = eˣ/x et de sa dérivée eˣ(x − 1)/x²'
caption: 'La dérivée s''annule en $x = 1$, où $\frac{e^x}{x}$ atteint sa valeur minimale $e$ sur $x > 0$.'
x: [0.2, 3]
y: [-3, 8]
functions:
  - expr: e^x/x
    label: y = eˣ/x
  - expr: e^x*(x-1)/x^2
    label: dérivée
    dashed: true
points:
  - [1, 2.718, '(1, e)']
```

## Quand se passer de la règle du quotient

Une fraction ne demande pas toujours la règle du quotient. Réécrire l'expression est souvent plus rapide et source de moins d'erreurs :

| Fonction | Réécriture | Dérivée |
| --- | --- | --- |
| $\frac{x^3}{5}$ | $\frac{1}{5}x^3$ | $\frac{3}{5}x^2$ |
| $\frac{4}{x^2}$ | $4x^{-2}$ | $-\frac{8}{x^3}$ |
| $\frac{x^3 + x}{x}$ | $x^2 + 1$ (pour $x \ne 0$) | $2x$ |
| $\frac{2}{\sqrt{x}}$ | $2x^{-1/2}$ | $-x^{-3/2}$ |

La première ligne utilise la [règle du produit par une constante](/rules/constant-multiple-rule) ; les autres utilisent la [règle de la puissance](/rules/power-rule) et la [dérivée d'une somme](/rules/sum-and-difference-rule).

## D'où vient la règle du quotient

On écrit $\frac{f}{g} = f \cdot g^{-1}$. La règle du produit et la [dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) donnent

$$f' \cdot g^{-1} + f \cdot (-g^{-2}g') = \frac{f'}{g} - \frac{fg'}{g^2} = \frac{f'g - fg'}{g^2}$$

Si vous oubliez la formule, vous pouvez donc toujours revenir à la règle du produit.

## Erreurs fréquentes

1. **Inverser l'ordre au numérateur.** $fg' - f'g$ donne l'opposé de la bonne réponse.
2. **Oublier d'élever le dénominateur au carré.** En bas, c'est $g^2$, pas $g$.
3. **Diviser les dérivées.** $\left(\frac{f}{g}\right)' \ne \frac{f'}{g'}$.
4. **Développer le dénominateur.** Laissez $(x+1)^2$ sous forme factorisée. La réponse reste plus simple, et les zéros comme les changements de signe se lisent facilement.
5. **La confondre avec la règle de L'Hôpital.** La [règle de L'Hôpital](/rules/lhopitals-rule) dérive séparément le haut et le bas pour trouver une limite. La règle du quotient calcule une dérivée.

Pour une explication plus détaillée des deux règles ensemble, lisez le guide complet sur [les règles du produit et du quotient](/blog/product-and-quotient-rules).

## Questions fréquentes

### Quelle est la formule de la dérivée d'un quotient ?

La règle du quotient dit que $\frac{d}{dx}\frac{f}{g} = \frac{f'g - fg'}{g^2}$. Elle donne la dérivée d'une fonction divisée par une autre.

### Comment retenir la formule de la dérivée d'un quotient ?

« Dérivée du haut fois le bas, moins le haut fois la dérivée du bas, sur le bas au carré. » Le bas est le dénominateur $g$, le haut est le numérateur $f$.

### L'ordre compte-t-il dans la règle du quotient ?

Oui. Échanger les deux termes du numérateur change le signe du résultat. Commencez toujours par la dérivée du numérateur fois le dénominateur.

### Quand ne faut-il pas utiliser la règle du quotient ?

Quand le dénominateur est une constante, utilisez le produit par une constante. Quand c'est une simple puissance comme $x^3$, réécrivez avec un exposant négatif et utilisez la règle de la puissance.