# Somme d'une série géométrique : formule a/(1 − r) et exemples

> La somme d'une série géométrique : a + ar + ar² + ... = a/(1 − r) si |r| < 1. Sommes partielles, condition de convergence et exemples corrigés.

Source : https://practicecalculus.com/fr/regles/somme-d-une-serie-geometrique
Mis à jour : 2026-11-03

$$ \sum_{n=0}^{\infty} a\,r^n = \frac{a}{1 - r}, \quad \lvert r\rvert < 1 $$

## En bref

- **Premier terme:** $a$, le terme obtenu lorsque l'exposant vaut $0$
- **Raison:** $r$, le facteur qui fait passer d'un terme au suivant
- **Converge si:** $\lvert r\rvert < 1$
- **Diverge si:** $\lvert r\rvert \ge 1$ (et $a \ne 0$)
- **Somme partielle:** $S_N = a\,\dfrac{1 - r^N}{1 - r}$ pour les $N$ premiers termes, $r \ne 1$

## À retenir

- Une série géométrique infinie converge vers $\frac{a}{1-r}$ exactement lorsque $\lvert r\rvert < 1$.
- $a$ est le premier terme de la série telle qu'elle est écrite, pas forcément le coefficient devant $r^n$.
- La somme des $N$ premiers termes vaut $a\frac{1 - r^N}{1 - r}$.

Une **série géométrique** additionne des termes dont chacun s'obtient à partir du précédent en multipliant par un même nombre $r$, la raison. C'est l'une des rares séries infinies dont on sait écrire la somme exacte, ce qui en fait la référence à laquelle on compare tous les [critères de convergence](/blog/convergence-tests).

## La formule de la série géométrique

Avec pour premier terme $a$ et pour raison $r$ :

$$a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} a\,r^n = \frac{a}{1-r}, \qquad \lvert r\rvert < 1$$

Si $\lvert r\rvert \ge 1$ et $a \ne 0$, la série **diverge**.

La somme des $N$ premiers termes est finie pour tout $r \ne 1$ :

$$S_N = a + ar + \cdots + ar^{N-1} = a\,\frac{1 - r^N}{1 - r}$$

## Pourquoi la formule fonctionne

Multipliez $S_N$ par $r$ et soustrayez. Presque tous les termes se simplifient :

$$S_N - rS_N = a - ar^N \quad\Longrightarrow\quad S_N = a\,\frac{1 - r^N}{1 - r}$$

Lorsque $\lvert r\rvert < 1$, $r^N \to 0$ quand $N \to \infty$, donc $S_N \to \frac{a}{1-r}$. Lorsque $\lvert r\rvert \ge 1$, $r^N$ ne tend pas vers zéro et les sommes partielles n'ont pas de limite finie.

```graph
title: 'Les sommes partielles de 1 + 1/2 + 1/4 + ... tendent vers 2'
caption: 'Chaque somme partielle $S_N = 2 - 2^{1-N}$ comble la moitié de l''écart restant jusqu''à la limite $\frac{1}{1 - 1/2} = 2$.'
x: [0, 7]
y: [0, 2.5]
functions:
  - expr: '2'
    label: y = 2 (la somme)
    dashed: true
points:
  - [1, 1, 'S1 = 1']
  - [2, 1.5, 'S2 = 1,5']
  - [3, 1.75, 'S3 = 1,75']
  - [4, 1.875]
  - [5, 1.9375]
  - [6, 1.96875]
```

## Comment l'utiliser

1. **Trouver $a$** : le premier terme de la série telle qu'elle est écrite. Remplacez l'indice par sa valeur de départ.
2. **Trouver $r$** : divisez un terme quelconque par le précédent.
3. **Vérifier $\lvert r\rvert < 1$**. Sinon, on s'arrête : la série diverge.
4. **Calculer $\frac{a}{1-r}$.**

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : un classique.** $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots$ a pour premier terme $a = 1$ et pour raison $r = \frac{1}{2}$ :

$$\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$$

**Exemple 2 : l'indice ne commence pas à 0.** Dans $\sum_{n=1}^{\infty} 3\left(\frac{2}{3}\right)^n$, le premier terme est $3\cdot\frac{2}{3} = 2$, et non $3$ :

$$\sum_{n=1}^{\infty} 3\left(\frac{2}{3}\right)^n = \frac{2}{1 - \frac{2}{3}} = 6$$

**Exemple 3 : une raison négative.** $\sum_{n=0}^{\infty} \left(-\frac{1}{3}\right)^n$ a pour premier terme $a = 1$ et pour raison $r = -\frac{1}{3}$ :

$$\frac{1}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} = \frac{3}{4}$$

**Exemple 4 : un développement décimal périodique.** $0.272727\ldots = \frac{27}{100} + \frac{27}{10000} + \cdots$ a pour premier terme $a = \frac{27}{100}$ et pour raison $r = \frac{1}{100}$ :

$$\frac{27/100}{99/100} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$$

**Exemple 5 : divergence.** $\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{5}{4}\right)^n$ a pour raison $r = \frac{5}{4} > 1$, donc elle diverge. Les termes augmentent au lieu de diminuer.

## Somme finie ou somme infinie

La formule de la somme finie est valable pour toute raison sauf $r = 1$ : même une série de raison $r = 3$ a une somme des dix premiers termes parfaitement définie, $\sum_{n=0}^{9} 3^n = \frac{1 - 3^{10}}{1 - 3} = 29524$. Seule la somme infinie exige $\lvert r\rvert < 1$. Lorsque $r = 1$, chaque terme vaut $a$, donc les $N$ premiers termes ont pour somme $Na$, et la série infinie diverge.

## Erreurs fréquentes

1. **Prendre le coefficient au lieu du premier terme.** Quand la somme commence à $n = 1$ ou plus loin, calculez directement le premier terme.
2. **Oublier la condition.** $\frac{a}{1-r}$ avec $r = 2$ donne $-a$, un nombre qui n'a aucun sens. Vérifiez toujours d'abord $\lvert r\rvert < 1$.
3. **Prendre d'autres séries pour des séries géométriques.** $\sum \frac{1}{n^2}$ et $\sum \frac{1}{2n}$ n'ont pas de raison constante : la formule ne s'applique pas.
4. **Perdre un signe dans $r$.** Pour une série géométrique alternée, $r$ est négative, et $1 - r$ devient $1 + \lvert r\rvert$.

## Pour aller plus loin

Les séries géométriques servent de modèle au [critère de d'Alembert](/rules/ratio-test), qui demande si une série se comporte à terme comme une série géométrique de raison $\lvert r\rvert < 1$. Elles donnent aussi la première série entière, $\frac{1}{1-x} = \sum x^n$ pour $\lvert x\rvert < 1$, point de départ des [séries entières](/blog/power-series). Pour d'autres exemples, lisez le guide complet des [séries géométriques](/blog/geometric-series).

## Questions fréquentes

### Quelle est la formule de la somme d'une série géométrique infinie ?

Si le premier terme est $a$ et si la raison $r$ vérifie $\lvert r\rvert < 1$, la somme vaut $\frac{a}{1-r}$. Si $\lvert r\rvert \ge 1$, la série diverge.

### Comment trouver la raison r d'une série géométrique ?

Divisez un terme quelconque par le terme précédent. Pour $6 + 2 + \frac{2}{3} + \cdots$, la raison vaut $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

### Pourquoi une série géométrique diverge-t-elle quand |r| est supérieur ou égal à 1 ?

Si $\lvert r\rvert \ge 1$, les termes $ar^n$ ne tendent pas vers zéro, donc d'après le critère du terme général la série ne peut pas converger.

### Comment écrire 0,999... sous forme de série géométrique ?

$0.999\ldots = \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \cdots$ est une série géométrique avec $a = \frac{9}{10}$ et $r = \frac{1}{10}$. Sa somme vaut $\frac{9/10}{9/10} = 1$.