# Substitution directe pour les limites : quand ça marche et après

> La substitution directe calcule une limite en remplaçant x par sa valeur. Quand elle fonctionne, comment lire le résultat et que faire face à 0/0 ou a/0.

Source : https://practicecalculus.com/fr/regles/substitution-directe
Mis à jour : 2026-11-03

$$ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $$

## En bref

- **S'applique à:** Toute fonction continue en $x = a$
- **Fonctionne pour:** Les polynômes partout, les fonctions rationnelles là où le dénominateur est non nul, et $\sin$, $\cos$, $e^x$, $\ln x$, $\sqrt{x}$ sur leur domaine de définition
- **Si on obtient un nombre:** Ce nombre est la limite
- **Si on obtient 0/0:** Forme indéterminée : simplifier, puis substituer à nouveau
- **Si on obtient a/0 avec a ≠ 0:** La limite est infinie ou n'existe pas

## À retenir

- Si $f$ est continue en $a$, alors $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ : il suffit de remplacer.
- Un résultat $\frac{0}{0}$ ne signifie pas que la limite n'existe pas. Il signifie qu'il faut d'abord simplifier.
- Un résultat $\frac{a}{0}$ avec $a \ne 0$ signifie qu'il y a une asymptote verticale en $x = a$.

La **substitution directe** est le premier réflexe face à une limite : on remplace $x$ par la valeur vers laquelle il tend et on calcule. Si la fonction est continue en ce point, la valeur obtenue est la limite. Si l'on obtient $\frac{0}{0}$ ou un nombre divisé par zéro, le résultat indique quelle technique utiliser ensuite.

## La propriété de substitution directe

Si $f$ est [continue](/blog/continuity) en $x = a$, alors

$$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$

C'est en réalité la définition de la continuité lue à l'envers. Elle couvre la plupart des fonctions rencontrées : polynômes, fonctions rationnelles (là où le dénominateur n'est pas nul), racines, exponentielles, logarithmes et fonctions trigonométriques sur leur domaine de définition, ainsi que toutes leurs sommes, produits, quotients et composées. Ce sont les [opérations sur les limites](/rules/limit-laws) qui le garantissent.

## Comment lire le résultat

| Vous obtenez | Ce que cela signifie | Étape suivante |
| --- | --- | --- |
| Un nombre réel $L$ | La limite vaut $L$ | Terminé |
| $\frac{0}{0}$ | Forme indéterminée | Factoriser, utiliser la quantité conjuguée ou la règle de L'Hôpital |
| $\frac{a}{0}$ avec $a \ne 0$ | Asymptote verticale | Étudier le signe de chaque côté : $\pm\infty$ ou la limite n'existe pas |
| Indéfini pour une autre raison (comme $\sqrt{-1}$) | $a$ est hors du domaine de définition | Étudier les limites à gauche et à droite ou le domaine de définition |

```graph
title: 'Courbe de y = (x² − 1)/(x − 1) avec un trou en x = 1'
caption: 'Substituer $x = 1$ donne $\frac{0}{0}$, mais la courbe tend clairement vers $2$. Après simplification, $x + 1$ donne la limite par substitution.'
x: [-2, 3]
y: [-1, 4]
functions:
  - expr: (x^2-1)/(x-1)
    label: y = (x² − 1)/(x − 1)
points:
  - [1, 2, 'trou en (1, 2)', open]
```

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : on obtient un nombre.** Les polynômes et les fonctions trigonométriques sont continus, donc on substitue :

$$\lim_{x \to 2} (x^3 - 4x + 1) = 8 - 8 + 1 = 1 \qquad \lim_{x \to \pi} \cos x = -1$$

**Exemple 2 : une fonction rationnelle.** Le dénominateur en $x = 3$ vaut $2 \ne 0$ :

$$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + 1}{x - 1} = \frac{10}{2} = 5$$

**Exemple 3 : $\frac{0}{0}$.** Substituer $x = 2$ dans $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$ donne $\frac{0}{0}$. On factorise, on simplifie, puis on substitue dans l'expression plus simple :

$$\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$$

**Exemple 4 : $\frac{0}{0}$ avec une racine.** Pour $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}$, la substitution donne $\frac{0}{0}$. On multiplie par la quantité conjuguée :

$$\frac{\sqrt{x+9} - 3}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+9} + 3}{\sqrt{x+9} + 3} = \frac{x}{x(\sqrt{x+9} + 3)} = \frac{1}{\sqrt{x+9} + 3}$$

On substitue maintenant : $\frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}$.

**Exemple 5 : un nombre non nul divisé par zéro.** Pour $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2}$, la substitution donne $\frac{1}{0}$. À droite, le quotient tend vers $+\infty$ et à gauche vers $-\infty$, donc la limite n'existe pas.

## Pourquoi la simplification est permise

Une limite quand $x \to a$ ne dépend que des valeurs de $x$ **proches** de $a$, jamais de $x = a$ lui-même. Les fonctions $\frac{x^2-4}{x-2}$ et $x + 2$ sont égales pour tout $x \ne 2$, donc elles ont la même limite en $2$. Simplifier ne modifie la fonction qu'en l'unique point que la limite ignore.

## Erreurs fréquentes

1. **Dire que $\frac{0}{0}$ vaut zéro, un, ou « n'existe pas ».** Ce n'est automatiquement aucun des trois. Cela veut dire « continuer le calcul ».
2. **Substituer dans une fonction qui n'est pas continue en $a$.** Pour une fonction définie par morceaux, la valeur $f(a)$ peut différer de la limite. Étudiez chaque côté.
3. **S'arrêter à $\frac{a}{0}$.** Déterminez le signe de chaque côté pour savoir si la réponse est $\infty$, $-\infty$ ou si la limite n'existe pas.
4. **Oublier de substituer après avoir simplifié.** Tout l'intérêt de la factorisation est d'obtenir une expression dans laquelle on peut substituer.

Quand l'algèbre devient lourde, la [règle de L'Hôpital](/rules/lhopitals-rule) traite $\frac{0}{0}$ à l'aide des dérivées. Pour l'ensemble des techniques, consultez [comment calculer une limite](/blog/how-to-evaluate-limits).

## Questions fréquentes

### Qu'est-ce que la substitution directe pour une limite ?

La substitution directe consiste à calculer $\lim_{x \to a} f(x)$ en calculant $f(a)$. Elle donne le bon résultat dès que $f$ est continue en $a$.

### Que signifie un résultat 0/0 en substitution directe ?

$\frac{0}{0}$ est une forme indéterminée. La limite peut valoir n'importe quel nombre ou ne pas exister : il faut factoriser, utiliser la quantité conjuguée ou la règle de L'Hôpital.

### Et si la substitution directe donne un nombre divisé par zéro ?

Si le numérateur tend vers un nombre non nul et le dénominateur vers $0$, la fonction explose. Étudiez les limites à gauche et à droite : elles valent $\infty$ ou $-\infty$, et si elles diffèrent, la limite n'existe pas.

### Peut-on toujours utiliser la substitution directe pour un polynôme ?

Oui. Les polynômes sont continus partout, donc $\lim_{x \to a} p(x) = p(a)$ pour tout réel $a$.