# Formule de Green-Riemann : énoncé, orientation et exemples corrigés > La formule de Green-Riemann transforme une intégrale curviligne sur une courbe fermée en intégrale double. Énoncé, hypothèses, aire et exemples. Source : https://practicecalculus.com/fr/theoremes/formule-de-green-riemann Mis à jour : 2026-11-03 $$ \oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA $$ ## En bref - **Hypothèses:** $C$ est une courbe fermée simple, lisse par morceaux et orientée positivement, qui borde un domaine $D$, et $P$, $Q$ ont des dérivées partielles continues sur un ouvert contenant $D$ - **Orientation positive:** Sens trigonométrique (antihoraire), de sorte que le domaine reste à votre gauche - **Intégrande:** $Q_x - P_y$, le rotationnel scalaire de $\langle P, Q \rangle$ - **Formule de l'aire:** $A = \frac{1}{2}\oint_C x\,dy - y\,dx$ - **Se généralise en:** Théorème de Stokes en dimension 3 - **Cours:** Analyse 3 ## À retenir - La formule de Green-Riemann transforme une intégrale curviligne fermée en intégrale double de $Q_x - P_y$ sur le domaine délimité. - La courbe doit être parcourue dans le sens trigonométrique ; le sens horaire change le signe. - $P$ et $Q$ doivent avoir des dérivées partielles continues sur tout le domaine, trous compris. Une singularité à l'intérieur met la formule en défaut. - En choisissant $Q_x - P_y = 1$, on transforme une intégrale curviligne en formule d'aire. La **formule de Green-Riemann** (ou théorème de Green) relie une intégrale curviligne le long d'une courbe fermée du plan à une intégrale double sur le domaine qu'elle délimite. Elle affirme que la circulation totale le long du bord est égale à la somme de toutes les petites circulations à l'intérieur. ## Énoncé de la formule de Green-Riemann Soient 1. $C$ une courbe **fermée simple**, **lisse par morceaux** et **orientée positivement** (sens trigonométrique) dans le plan, 2. $D$ le domaine délimité par $C$, et 3. $P(x, y)$ et $Q(x, y)$ des fonctions ayant des **dérivées partielles continues** sur un ouvert contenant $D$. Alors $$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA$$ Sous forme vectorielle, avec $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$, le membre de gauche est la circulation $\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ et l'intégrande de droite est le rotationnel scalaire $Q_x - P_y$. ## Ce que signifie la formule de Green-Riemann Découpez $D$ en minuscules carrés et additionnez la circulation de $\mathbf{F}$ le long de chacun d'eux. Chaque arête intérieure est parcourue par deux carrés voisins en sens opposés, donc ces contributions se compensent. Seul le bord extérieur subsiste. Par ailleurs, la circulation le long d'un minuscule carré vaut environ $(Q_x - P_y)$ fois son aire. En faisant la somme des deux façons, on obtient la formule de Green-Riemann. ```graph title: 'Domaine pour Green-Riemann : entre y = x² et y = x pour 0 ≤ x ≤ 1' caption: 'Le bord $C$ est parcouru dans le sens trigonométrique : le long de la parabole $y = x^2$ de $(0, 0)$ à $(1, 1)$, puis retour le long de la droite $y = x$. Le domaine $D$ reste à gauche.' x: [-0.2, 1.3] y: [-0.2, 1.3] functions: - expr: x label: y = x (haut, parcouru de droite à gauche) domain: [0, 1] - expr: x^2 label: y = x² (bas, parcouru de gauche à droite) domain: [0, 1] shade: {expr: x, from: 0, to: 1, below: x^2} points: - [0, 0, '(0, 0)'] - [1, 1, '(1, 1)'] ``` ## Pourquoi chaque hypothèse compte **L'orientation.** Parcourir $C$ dans le sens horaire change le signe de l'intégrale curviligne, alors que l'intégrale double ne change pas. Vérifiez toujours le sens de parcours. **La continuité partout à l'intérieur.** Le champ tourbillon $$\mathbf{F} = \left\langle \frac{-y}{x^2 + y^2},\; \frac{x}{x^2 + y^2} \right\rangle$$ vérifie $Q_x - P_y = 0$ en tout point sauf à l'origine, où il n'est pas défini. Le long du cercle unité $x = \cos t$, $y = \sin t$, l'intégrale curviligne vaut $\int_0^{2\pi} (\sin^2 t + \cos^2 t)\,dt = 2\pi$, et non $0$. La formule de Green-Riemann ne s'applique pas, car l'origine, située dans $D$, est un point où $P$ et $Q$ ne sont même pas définies. **Une courbe fermée.** Pour une courbe qui ne se referme pas, il n'y a pas de domaine délimité, et la formule ne dit rien. ## Exemples corrigés **Exemple 1 : calculer $\oint_C xy\,dx + x^2\,dy$ le long du bord du domaine représenté sur le graphique.** **Étape 1.** $P = xy$ et $Q = x^2$, donc $Q_x - P_y = 2x - x = x$. **Étape 2.** Le domaine est défini par $x^2 \le y \le x$ pour $0 \le x \le 1$ : $$\iint_D x\,dA = \int_0^1 \int_{x^2}^{x} x\,dy\,dx = \int_0^1 (x^2 - x^3)\,dx = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$$ **Vérification directe.** Le long de $y = x^2$ ($x = t$, $0 \to 1$), l'intégrande vaut $t^3\,dt + t^2(2t\,dt) = 3t^3\,dt$, ce qui contribue pour $\frac{3}{4}$. Le long de $y = x$, au retour de $(1, 1)$ vers $(0, 0)$, on obtient $2t^2\,dt$ avec $t$ allant de $1$ à $0$, ce qui contribue pour $-\frac{2}{3}$. Le total vaut $\frac{3}{4} - \frac{2}{3} = \frac{1}{12}$. Même résultat, mais plus de travail. **Exemple 2 : aire d'une ellipse.** On choisit $P = -\frac{y}{2}$ et $Q = \frac{x}{2}$, de sorte que $Q_x - P_y = 1$ et que l'intégrale double soit l'aire : $$A = \frac{1}{2}\oint_C x\,dy - y\,dx$$ Pour l'ellipse $x = a\cos t$, $y = b\sin t$, $0 \le t \le 2\pi$ : $x\,dy - y\,dx = (ab\cos^2 t + ab\sin^2 t)\,dt = ab\,dt$. Donc $A = \frac{1}{2}\cdot 2\pi ab = \pi ab$. **Exemple 3 : un champ compliqué, une réponse simple.** Calculer $\oint_C (x^2 - y)\,dx + (x + y^3)\,dy$ le long du cercle unité, dans le sens trigonométrique. Ici $Q_x - P_y = 1 - (-1) = 2$, donc l'intégrale vaut $2 \cdot \text{aire} = 2\pi$, soit deux fois l'aire du disque. ## Erreurs fréquentes 1. **Inverser l'ordre dans l'intégrande.** C'est $Q_x - P_y$, et non $P_y - Q_x$ ou $P_x - Q_y$. 2. **Ignorer l'orientation.** Une courbe parcourue dans le sens horaire donne l'opposé de l'intégrale double. 3. **L'appliquer malgré une singularité.** Vérifiez que $P$ et $Q$ sont régulières sur tout $D$, et pas seulement sur $C$. ## Théorèmes et guides associés La formule de Green-Riemann est le cas plan du [théorème de Stokes](/theorems/stokes-theorem), et sa forme « flux » est la version en dimension 2 du [théorème de flux-divergence](/theorems/divergence-theorem). Comme $Q_x - P_y = 0$ pour les champs de gradient d'après le [théorème de Schwarz](/theorems/clairauts-theorem), les champs conservatifs ont une circulation nulle. Pour les intégrales doubles du membre de droite, consultez le guide sur les [intégrales doubles](/blog/double-integrals). ## Questions fréquentes ### Que dit la formule de Green-Riemann ? Pour une courbe fermée simple $C$, lisse par morceaux et orientée positivement, qui borde un domaine $D$, et pour $P$, $Q$ ayant des dérivées partielles continues au voisinage de $D$, on a $\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D (Q_x - P_y)\,dA$. ### Qu'est-ce que l'orientation positive dans la formule de Green-Riemann ? C'est le sens trigonométrique autour du domaine, ou plus généralement le sens dans lequel le domaine reste à votre gauche quand vous parcourez la courbe. Parcourir la courbe dans le sens horaire multiplie l'intégrale curviligne par $-1$. ### Quand utiliser la formule de Green-Riemann ? Quand une intégrale curviligne sur une courbe fermée est fastidieuse, en particulier si la courbe comporte plusieurs morceaux, et que $Q_x - P_y$ est simple. On l'utilise aussi dans l'autre sens pour calculer des aires à l'aide d'une intégrale curviligne. ### Pourquoi la formule de Green-Riemann échoue-t-elle pour le champ tourbillon autour de l'origine ? Le champ $\left\langle \frac{-y}{x^2 + y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2} \right\rangle$ vérifie $Q_x - P_y = 0$ hors de l'origine, mais n'est pas défini à l'origine. Si la courbe entoure l'origine, l'hypothèse n'est pas vérifiée, et de fait l'intégrale curviligne sur le cercle unité vaut $2\pi$, et non $0$.