# Formule de Taylor-Lagrange : reste et majoration de l'erreur > La formule de Taylor avec reste de Lagrange : à quel point un polynôme de Taylor approche f(x). Énoncé, majoration de l'erreur, exemples avec e et sin x. Source : https://practicecalculus.com/fr/theoremes/formule-de-taylor Mis à jour : 2026-11-03 $$ f(x) = P_n(x) + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1} $$ ## En bref - **Hypothèses:** $f$ est $n + 1$ fois dérivable sur un intervalle ouvert $I$ contenant $a$, et $x$ appartient à $I$ - **Polynôme de Taylor:** $P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k$ - **Reste (forme de Lagrange):** $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$ pour un certain $c$ compris entre $a$ et $x$ - **Majoration de l'erreur:** $|R_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}|x - a|^{n+1}$ où $|f^{(n+1)}| \le M$ - **Cas n = 0:** Le théorème des accroissements finis - **Cours:** Analyse 2 ## À retenir - La formule de Taylor affirme que $f(x)$ est égal à son polynôme de Taylor de degré $n$ plus un reste que l'on peut majorer. - Le reste de Lagrange ressemble au terme suivant de la série, avec la dérivée évaluée en un point $c$ inconnu. - Majorez $|f^{(n+1)}|$ par $M$ sur l'intervalle pour obtenir la majoration de l'erreur $\frac{M}{(n+1)!}|x - a|^{n+1}$. - Une série de Taylor est égale à $f$ exactement lorsque le reste tend vers $0$ quand $n \to \infty$. La **formule de Taylor** affirme qu'une fonction régulière est égale à son polynôme de Taylor plus un terme d'erreur, et elle donne à ce terme d'erreur une forme exacte. On passe ainsi de « le polynôme de Taylor est une bonne approximation » à un nombre garanti de décimales exactes. ## Énoncé de la formule de Taylor On suppose que $f$ admet des dérivées jusqu'à l'ordre $n + 1$ sur un intervalle ouvert $I$ contenant $a$. Soit $$P_n(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$$ le polynôme de Taylor de degré $n$ de $f$ en $a$. Alors pour tout $x$ de $I$, il existe un nombre $c$ **compris entre $a$ et $x$** tel que $$f(x) = P_n(x) + R_n(x), \qquad R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$$ C'est la **forme de Lagrange du reste**, d'où le nom de formule de Taylor-Lagrange. Lorsque $a = 0$, le polynôme est appelé polynôme de Maclaurin. ## Inégalité de Taylor-Lagrange (la majoration de l'erreur) On ne connaît presque jamais $c$, on majore donc la dérivée. Si $|f^{(n+1)}(t)| \le M$ pour tout $t$ compris entre $a$ et $x$, alors $$|f(x) - P_n(x)| = |R_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}|x - a|^{n+1}$$ La majoration devient vite petite, car $(n+1)!$ croît plus vite que n'importe quelle puissance. ## Ce que signifie la formule de Taylor Le reste ressemble exactement au terme suivant de la série de Taylor, à ceci près que la dérivée est évaluée en un point $c$ au lieu de $a$. Pour $n = 0$, l'énoncé s'écrit $f(x) = f(a) + f'(c)(x - a)$, qui n'est autre que le [théorème des accroissements finis](/theorems/mean-value-theorem). La formule de Taylor en est la version d'ordre supérieur. ```graph title: 'Formule de Taylor : les polynômes de Taylor de sin(x) en 0 épousent la courbe près de 0' caption: 'Les polynômes de Maclaurin de degré 1, 3 et 5 de $\sin x$. Près de $x = 0$, l''erreur est minuscule ; elle augmente avec $|x|$ et diminue quand le degré augmente.' x: [-4, 4] y: [-2, 2] functions: - expr: sin(x) label: y = sin(x) - expr: x label: degré 1, y = x dashed: true - expr: x - x^3/6 label: degré 3, y = x − x³/6 dashed: true - expr: x - x^3/6 + x^5/120 label: degré 5 dashed: true ``` ## Pourquoi les hypothèses comptent **Suffisamment de dérivées.** La formule du reste utilise $f^{(n+1)}$. Pour $f(x) = |x|$ en $a = 0$, $f'(0)$ n'existe pas, il n'y a donc même pas de polynôme de Taylor de degré 1. **Un reste qui ne diminue pas.** La formule de Taylor est toujours vraie lorsque ses hypothèses le sont, mais elle ne promet pas que l'erreur tend vers $0$. La fonction $f(x) = e^{-1/x^2}$ (avec $f(0) = 0$) a toutes ses dérivées égales à $0$ en $x = 0$, donc tous ses polynômes de Taylor en $0$ sont le polynôme nul. Le reste $R_n(x) = f(x)$ ne diminue jamais, et la série de Taylor converge vers $0$, pas vers $f$. Une fonction est égale à sa [série de Taylor](/blog/taylor-series) seulement lorsque $R_n(x) \to 0$. ## Exemples corrigés **Exemple 1 : approcher $e$ par $P_4$ et majorer l'erreur.** **Étape 1.** Pour $f(x) = e^x$ en $a = 0$, toutes les dérivées valent $e^x$ et sont égales à $1$ en $0$. Donc $$P_4(1) = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} = \frac{65}{24} \approx 2.70833$$ **Étape 2.** Sur $[0, 1]$, $f^{(5)}(t) = e^t \le e < 3$, on prend donc $M = 3$. **Étape 3.** $|R_4(1)| \le \frac{3}{5!}\cdot 1^5 = \frac{3}{120} = 0.025$. L'erreur réelle vaut $e - 2.70833 \approx 0.00995$, largement en dessous de la majoration. **Exemple 2 : $\sin(0.1)$ avec une grande précision.** Le polynôme de Maclaurin $P_3(x) = x - \frac{x^3}{6}$ donne $\sin(0.1) \approx 0.1 - \frac{0.001}{6} \approx 0.0998333$. Comme le coefficient de $x^4$ du sinus est $0$, $P_4 = P_3$, on peut donc utiliser $R_4$. Toutes les dérivées de $\sin$ sont majorées par $M = 1$ : $$|R_4(0.1)| \le \frac{1}{5!}(0.1)^5 = \frac{0.00001}{120} \approx 8.3 \times 10^{-8}$$ Donc $0.0998333$ est exact à au moins six décimales. **Exemple 3 : combien de termes pour $e^{0.5}$ à $0.001$ près ?** Sur $[0, 0.5]$, $e^t \le e^{0.5} < 2$, donc $|R_n(0.5)| \le \frac{2\,(0.5)^{n+1}}{(n+1)!}$. | $n$ | Majoration $\frac{2\,(0.5)^{n+1}}{(n+1)!}$ | | --- | --- | | $2$ | $\frac{2(0.125)}{6} \approx 0.042$ | | $3$ | $\frac{2(0.0625)}{24} \approx 0.0052$ | | $4$ | $\frac{2(0.03125)}{120} \approx 0.00052$ | La majoration passe pour la première fois sous $0.001$ pour $n = 4$, donc $P_4(0.5)$ est suffisamment précis. ## Erreurs fréquentes 1. **Utiliser $(n)!$ au lieu de $(n+1)!$.** Le reste après un polynôme de degré $n$ fait intervenir la dérivée d'ordre $(n+1)$ et $(n+1)!$. 2. **Majorer la dérivée seulement en $a$.** $M$ doit majorer $|f^{(n+1)}|$ sur tout l'intervalle entre $a$ et $x$. 3. **Supposer que la série de Taylor est toujours égale à $f$.** Ce n'est le cas que lorsque le reste tend vers $0$. ## Théorèmes et guides liés La formule de Taylor généralise le [théorème des accroissements finis](/theorems/mean-value-theorem). Pour construire les polynômes et les séries eux-mêmes, consultez [séries de Taylor](/blog/taylor-series) et [séries entières](/blog/power-series). À plusieurs variables, le développement de Taylor à l'ordre deux fait intervenir les dérivées partielles croisées, que le [théorème de Schwarz](/theorems/clairauts-theorem) permet de calculer dans n'importe quel ordre. ## Questions fréquentes ### Que dit la formule de Taylor ? Si $f$ est $n + 1$ fois dérivable sur un intervalle contenant $a$ et $x$, alors $f(x) = P_n(x) + R_n(x)$, où $P_n$ est le polynôme de Taylor de degré $n$ en $a$ et $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$ pour un certain $c$ compris entre $a$ et $x$. ### Qu'est-ce que l'inégalité de Taylor-Lagrange ? Si $|f^{(n+1)}(t)| \le M$ pour tout $t$ compris entre $a$ et $x$, alors l'erreur commise en approchant $f(x)$ par $P_n(x)$ est au plus $\frac{M}{(n+1)!}|x - a|^{n+1}$. C'est ce que l'on appelle aussi la majoration de Lagrange du reste. ### Comment savoir combien de termes du polynôme de Taylor il faut ? Écrivez la majoration de l'erreur en fonction de $n$ et augmentez $n$ jusqu'à ce que la majoration soit inférieure à la précision voulue. La factorielle au dénominateur fait décroître la majoration très vite. ### Quelle est la différence entre la formule de Taylor et une série de Taylor ? Une série de Taylor est la somme infinie de tous les termes. La formule de Taylor porte sur un polynôme fini et donne une expression exacte de l'erreur restante : c'est ainsi que l'on prouve qu'une série de Taylor converge vers la fonction.