# Théorème de Fermat sur les extremums locaux : énoncé et exemples > Le théorème de Fermat : si f admet un extremum local en c et si f'(c) existe, alors f'(c) = 0. Énoncé, graphique, réciproque fausse et exemples corrigés. Source : https://practicecalculus.com/fr/theoremes/theoreme-de-fermat Mis à jour : 2026-11-03 $$ f'(c) = 0 $$ ## En bref - **Autres noms:** Condition nécessaire d'extremum local, théorème de l'extremum intérieur - **Hypothèses:** $f$ admet un maximum ou un minimum local en un point intérieur $c$, et $f'(c)$ existe - **Conclusion:** $f'(c) = 0$ - **Réciproque:** Fausse : $f'(c) = 0$ ne garantit pas un extremum, comme le montre $x^3$ en $0$ - **Sert à:** Trouver les points critiques, la méthode du segment, l'optimisation - **Cours:** Analyse 1 ## À retenir - En un maximum ou un minimum local où la dérivée existe, la tangente est horizontale. - Ainsi, tout extremum local se trouve en un point critique : $f'(c) = 0$ ou $f'(c)$ n'existe pas. - La réciproque est fausse. Un point critique peut n'être ni un maximum ni un minimum, comme $x = 0$ pour $x^3$. - Le théorème concerne les points intérieurs. Aux bornes d'un intervalle, un extremum n'a pas forcément une pente nulle. Le **théorème de Fermat** (sur les extremums locaux) dit qu'au sommet d'une colline ou au fond d'une vallée d'une courbe régulière, la tangente est horizontale. C'est le théorème qui justifie le geste le plus courant en analyse : pour trouver un maximum ou un minimum, on annule la dérivée. ## Énoncé du théorème de Fermat Supposons que 1. $f$ admet un **maximum local ou un minimum local** en $c$, c'est-à-dire $f(c) \ge f(x)$ (ou $f(c) \le f(x)$) pour tout $x$ d'un intervalle ouvert contenant $c$, et que 2. $f'(c)$ **existe**. Alors $$f'(c) = 0$$ Comme la définition d'un extremum local fait intervenir un intervalle ouvert autour de $c$, le point $c$ doit être un point intérieur du domaine de définition, et non une borne. ## Ce que signifie le théorème de Fermat En un maximum local, la fonction monte jusqu'à $c$ puis redescend. Juste à droite de $c$, le taux d'accroissement $\frac{f(c + h) - f(c)}{h}$ est $\le 0$, et juste à gauche, il est $\ge 0$. Si la dérivée existe, les deux limites (à gauche et à droite) sont le même nombre, et le seul nombre à la fois $\le 0$ et $\ge 0$ est $0$. ```graph title: 'Théorème de Fermat : tangentes horizontales au max et au min locaux de y = x³ − 3x' caption: 'Le maximum local en $x = -1$ et le minimum local en $x = 1$ ont tous deux une tangente horizontale, donc $f''(-1) = f''(1) = 0$.' x: [-2.5, 2.5] y: [-4, 4] functions: - expr: x^3 - 3x label: y = x³ − 3x - expr: '2' label: tangentes horizontales dashed: true domain: [-2, 0] - expr: '-2' dashed: true domain: [0, 2] points: - [-1, 2, 'max local (−1, 2)'] - [1, -2, 'min local (1, −2)'] ``` ## Pourquoi chaque hypothèse compte, et pourquoi la réciproque est fausse **La dérivée doit exister.** $f(x) = |x|$ admet un minimum en $x = 0$, mais $f'(0)$ n'existe pas à cause du point anguleux. Le théorème de Fermat ne dit rien en ce point. C'est pourquoi les points critiques incluent les points où $f'$ n'est pas définie. **Le point doit être intérieur.** Sur $[0, 1]$, $f(x) = x$ atteint son maximum à la borne $x = 1$, et pourtant $f'(1) = 1 \ne 0$. Les extremums aux bornes ne sont pas couverts par le théorème : la méthode du segment examine donc les bornes à part. **La réciproque est fausse.** $f(x) = x^3$ vérifie $f'(0) = 0$, mais $x^3$ est négative à gauche de $0$ et positive à droite, donc $0$ n'est pas un extremum local. Une tangente horizontale fait de $c$ un **candidat**, rien de plus. Il faut encore le test de la dérivée première ou de la dérivée seconde. ## Points critiques Le théorème de Fermat justifie la définition suivante : un **point critique** de $f$ est un réel $c$ de son domaine de définition tel que $f'(c) = 0$ ou que $f'(c)$ n'existe pas. Autrement dit, tout extremum local de $f$ est atteint en un point critique. ## Exemples corrigés **Exemple 1 : $f(x) = x^4 - 4x^3$.** **Étape 1.** $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)$. **Étape 2.** Points critiques : $x = 0$ et $x = 3$. D'après le théorème de Fermat, ce sont les seuls extremums locaux possibles. **Étape 3.** On les classe. $f'(x) < 0$ pour $x < 0$ et pour $0 < x < 3$, et $f'(x) > 0$ pour $x > 3$. La fonction reste décroissante en traversant $x = 0$, donc $x = 0$ n'est pas un extremum, exactement comme pour $x^3$. En $x = 3$, elle passe de décroissante à croissante, donc $f(3) = 81 - 108 = -27$ est un minimum local. **Exemple 2 : un point critique où $f'$ n'existe pas.** Pour $f(x) = x^{2/3}$, $$f'(x) = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$$ qui ne vaut jamais $0$ et n'est pas définie en $x = 0$. Donc $x = 0$ est le seul point critique, et comme $f(x) \ge 0 = f(0)$ pour tout $x$, c'est un minimum. Se contenter de résoudre $f'(x) = 0$ le ferait manquer. **Exemple 3 : optimisation.** Deux nombres ont pour somme $10$. On veut maximiser leur produit $P(x) = x(10 - x)$. Comme le maximum est atteint en un point intérieur et que $P$ est dérivable, le théorème de Fermat donne $P'(x) = 10 - 2x = 0$, donc $x = 5$ et le produit maximal vaut $25$. Pour aller plus loin, consultez les [problèmes d'optimisation](/blog/optimization-problems). ## Erreurs fréquentes 1. **Croire que $f'(c) = 0$ implique un extremum.** Classez toujours les points critiques à l'aide d'un tableau de signes ou de la dérivée seconde. 2. **Ignorer les points où $f'$ n'est pas définie.** Les points anguleux et les points de rebroussement sont aussi des points critiques. 3. **Oublier les bornes.** Sur un intervalle fermé, les extremums peuvent se trouver aux bornes, où le théorème de Fermat ne s'applique pas. ## Théorèmes associés Le théorème de Fermat, combiné au [théorème des bornes atteintes](/theorems/extreme-value-theorem), donne la méthode du segment, et c'est l'étape clé de la démonstration du [théorème de Rolle](/theorems/rolles-theorem), puis du [théorème des accroissements finis](/theorems/mean-value-theorem). Pour classer les points critiques et tracer des courbes, lisez [l'étude de fonctions à l'aide des dérivées](/blog/curve-sketching-with-derivatives). ## Questions fréquentes ### Que dit le théorème de Fermat en analyse ? Il affirme que si $f$ admet un maximum local ou un minimum local en $c$ et si $f$ est dérivable en $c$, alors $f'(c) = 0$. C'est pour cela qu'on cherche les extremums en annulant la dérivée. ### La réciproque du théorème de Fermat est-elle vraie ? Non. $f(x) = x^3$ vérifie $f'(0) = 0$, mais $x = 0$ n'est ni un maximum ni un minimum local, car la fonction est croissante des deux côtés. Une dérivée nulle fait seulement de $c$ un candidat. ### Est-ce la même chose que le grand théorème de Fermat ? Non. Le grand théorème de Fermat est un résultat de théorie des nombres sur l'équation $x^n + y^n = z^n$. En analyse, le théorème de Fermat désigne le résultat sur les extremums locaux $f'(c) = 0$. ### Qu'est-ce qu'un point critique ? Un point critique de $f$ est un réel $c$ du domaine de définition tel que $f'(c) = 0$ ou que $f'(c)$ n'existe pas. Le théorème de Fermat affirme que tout extremum local est atteint en un point critique.