# Théorème de Green-Ostrogradski (flux-divergence) : énoncé et exemples > Le théorème de flux-divergence : le flux sortant d'un champ à travers une surface fermée égale l'intégrale triple de sa divergence. Énoncé et exemples. Source : https://practicecalculus.com/fr/theoremes/theoreme-de-green-ostrogradski Mis à jour : 2026-11-03 $$ \iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_E \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV $$ ## En bref - **Autres noms:** Théorème de Gauss, théorème d'Ostrogradski, théorème de flux-divergence - **Hypothèses:** $E$ est un solide dont le bord $S$ est une surface fermée, lisse par morceaux et orientée vers l'extérieur, et $\mathbf{F}$ a des dérivées partielles continues sur un ouvert contenant $E$ - **Divergence:** $\nabla\cdot\mathbf{F} = P_x + Q_y + R_z$ pour $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$ - **En mots:** Le flux total sortant de la surface égale l'intensité totale des sources à l'intérieur - **Version plane:** La forme « flux » de la formule de Green-Riemann - **Cours:** Analyse 3 ## À retenir - Le flux sortant à travers une surface fermée égale l'intégrale triple de la divergence sur le solide qu'elle délimite. - La surface doit être fermée et orientée vers l'extérieur. Pour une surface ouverte, on la referme d'abord, puis on soustrait la partie ajoutée. - $\mathbf{F}$ doit être régulier dans tout le solide. Une source ponctuelle à l'intérieur, comme un champ en inverse du carré, met le théorème en défaut. - On l'utilise quand la divergence est plus simple que le champ, ou quand la surface comporte de nombreux morceaux. Le **théorème de flux-divergence**, appelé aussi théorème de Green-Ostrogradski ou théorème de Gauss, affirme que le flux total d'un champ de vecteurs sortant d'une surface fermée est égal à la divergence totale du champ à l'intérieur. Ce qui s'échappe à travers l'enveloppe doit être produit par des sources situées à l'intérieur. ## Énoncé du théorème de flux-divergence Soient 1. $E$ un solide de l'espace dont le bord $S$ est une **surface fermée, lisse par morceaux**, 2. $S$ orientée par la normale **sortante** $\mathbf{n}$, et 3. $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$ un champ ayant des **dérivées partielles continues** sur un ouvert contenant $E$. Alors $$\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_E \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV, \qquad \nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$ Ici, $\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_S \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS$ est le flux sortant. ## Ce que signifie le théorème de flux-divergence Voyez $\mathbf{F}$ comme la vitesse d'un fluide. La divergence en un point est le débit de fluide créé en ce point par unité de volume : positive pour une source, négative pour un puits. En additionnant toute la production à l'intérieur du solide, on obtient la quantité totale qui sort par sa surface. Comme pour la [formule de Green-Riemann](/theorems/greens-theorem), les flux à travers toutes les parois internes entre de minuscules cubes se compensent, et il ne reste que la frontière extérieure. ## Pourquoi chaque hypothèse compte **Régularité à l'intérieur.** Le champ en inverse du carré $\mathbf{F} = \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}$, où $\mathbf{r} = \langle x, y, z \rangle$, vérifie $\nabla\cdot\mathbf{F} = 0$ partout sauf à l'origine, où il n'est pas défini. Pourtant, sur la sphère unité, $\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} = 1$, donc le flux est égal à l'aire de la sphère, $4\pi$, et non à $0$. Le théorème ne s'applique pas car $E$ contient le point singulier. C'est exactement le théorème de Gauss en électrostatique : le flux mesure la charge ponctuelle située à l'intérieur. **Une surface fermée.** Le flux à travers une surface ouverte, comme une demi-sphère, n'est pas déterminé par la seule divergence. Il faut d'abord refermer la surface. **Orientation vers l'extérieur.** Utiliser les normales rentrantes change le signe du flux. ## Exemples corrigés **Exemple 1 : $\mathbf{F} = \langle x, y, z \rangle$ à travers une sphère de rayon $R$.** **Étape 1.** $\nabla\cdot\mathbf{F} = 1 + 1 + 1 = 3$. **Étape 2.** $\iiint_E 3\,dV = 3\cdot\frac{4}{3}\pi R^3 = 4\pi R^3$. **Vérification directe.** Sur la sphère, $\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}}{R}$, donc $\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{R} = R$. Le flux vaut $R$ fois l'aire $4\pi R^2$, soit $4\pi R^3$. **Exemple 2 : $\mathbf{F} = \langle x^3, y^3, z^3 \rangle$ à travers la sphère unité.** $\nabla\cdot\mathbf{F} = 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 = 3\rho^2$ en coordonnées sphériques. Alors $$\iiint_E 3\rho^2\,dV = \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^1 3\rho^2\cdot\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = 3\cdot\frac{1}{5}\cdot 2\cdot 2\pi = \frac{12\pi}{5}$$ Calculer ce flux comme une intégrale de surface demanderait bien plus de travail. **Exemple 3 : un cube à six faces.** Calculer le flux sortant de $\mathbf{F} = \langle x^2, yz, z \rangle$ à travers la surface du cube unité $[0, 1]^3$. **Étape 1.** $\nabla\cdot\mathbf{F} = 2x + z + 1$. **Étape 2.** On intègre sur le cube, terme par terme (l'intégrale par rapport à chacune des autres variables vaut $1$) : $$\iiint_E (2x + z + 1)\,dV = 1 + \frac{1}{2} + 1 = \frac{5}{2}$$ Une seule intégrale triple remplace six intégrales de surface distinctes. ## Erreurs fréquentes 1. **L'appliquer à une surface ouverte.** Le théorème exige la frontière fermée d'un solide. 2. **Oublier une singularité.** Vérifiez que $\mathbf{F}$ est défini et régulier en tout point intérieur, en particulier à l'origine. 3. **Confondre divergence et rotationnel.** La divergence est un scalaire, $P_x + Q_y + R_z$ ; le rotationnel est un vecteur et relève du [théorème de Stokes](/theorems/stokes-theorem). ## Théorèmes et guides associés Le théorème de flux-divergence, le [théorème de Stokes](/theorems/stokes-theorem) et la [formule de Green-Riemann](/theorems/greens-theorem) sont toutes des variantes d'une même idée : intégrer une dérivée sur un domaine revient à intégrer le champ d'origine sur le bord, exactement comme le [théorème fondamental de l'analyse](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2). Pour la partie intégrale triple, commencez par les [intégrales doubles](/blog/double-integrals), et pour les opérations sur les vecteurs, consultez [vecteurs, produit scalaire et produit vectoriel](/blog/vectors-dot-and-cross-product). ## Questions fréquentes ### Que dit le théorème de flux-divergence ? Si $E$ est un solide dont la surface frontière fermée $S$ est orientée vers l'extérieur, et si $\mathbf{F}$ a des dérivées partielles continues sur un domaine contenant $E$, alors $\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_E \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV$. ### Quand utiliser le théorème de Green-Ostrogradski ? Pour calculer un flux à travers une surface fermée comme une sphère, un cube ou un cylindre avec ses couvercles, surtout quand la divergence est une expression simple. Une seule intégrale triple remplace plusieurs intégrales de surface. ### Peut-on appliquer le théorème de flux-divergence à une surface ouverte ? Pas directement. On ajoute une surface qui la referme, par exemple un disque plan sous une demi-sphère, on applique le théorème à la surface fermée, puis on soustrait le flux à travers la partie ajoutée. ### Quelle est la différence entre le théorème de flux-divergence et le théorème de Stokes ? Le théorème de flux-divergence relie le flux à travers une surface fermée à la divergence dans le volume intérieur. Le théorème de Stokes relie la circulation le long d'une courbe fermée au flux du rotationnel à travers une surface bordée par cette courbe.