# Théorème de la moyenne pour les intégrales : énoncé et exemples

> Le théorème de la moyenne : une fonction continue sur [a, b] atteint sa valeur moyenne en un point c. Énoncé, graphique, contre-exemple et exemples.

Source : https://practicecalculus.com/fr/theoremes/theoreme-de-la-moyenne
Mis à jour : 2026-11-03

$$ f(c) = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x)\,dx $$

## En bref

- **Hypothèses:** $f$ est continue sur $[a, b]$
- **Conclusion:** Il existe $c$ dans $[a, b]$ tel que $f(c) = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$
- **Valeur moyenne:** $f_{\text{moy}} = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$
- **Interprétation géométrique:** Un rectangle de hauteur $f(c)$ sur $[a, b]$ a la même aire que la région sous la courbe de $f$
- **Lien avec:** Le théorème des accroissements finis, appliqué à $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$
- **Cours:** Analyse 1

## À retenir

- Une fonction continue atteint réellement sa valeur moyenne quelque part sur l'intervalle.
- La valeur moyenne de $f$ sur $[a, b]$ est $\frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$.
- Pour trouver $c$, calculez la valeur moyenne, puis résolvez $f(c) = f_{\text{moy}}$ en ne gardant que les solutions dans $[a, b]$.
- La continuité est indispensable : une fonction qui présente un saut peut enjamber sa valeur moyenne.

Le **théorème de la moyenne** pour les intégrales affirme qu'une fonction continue atteint au moins une fois sa propre valeur moyenne. Si l'on aplatit l'aire sous la courbe en un rectangle de même largeur, la hauteur de ce rectangle est une valeur réellement prise par la fonction.

## Énoncé du théorème de la moyenne

Si $f$ est **continue** sur l'intervalle fermé $[a, b]$, alors il existe un nombre $c$ dans $[a, b]$ tel que

$$f(c) = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$$

ou, de manière équivalente,

$$\int_a^b f(x)\,dx = f(c)\,(b - a)$$

La quantité à droite de la première égalité est la **valeur moyenne** de $f$ sur $[a, b]$, notée $f_{\text{moy}}$.

## Ce que signifie le théorème

L'aire sous $y = f(x)$ entre $a$ et $b$ est égale à l'aire d'un rectangle de même base, $b - a$, et de hauteur $f_{\text{moy}}$. Le théorème affirme que cette hauteur n'est pas un nombre quelconque : la courbe passe par elle. Imaginez l'eau d'une cuve dont la surface ondule. Quand l'eau se stabilise à plat, son niveau est la hauteur moyenne, et la surface ondulée d'origine se trouvait à ce niveau quelque part.

```graph
title: 'Théorème de la moyenne : y = x² sur [0, 3] atteint sa valeur moyenne 3 en x = √3'
caption: 'L''aire sous $y = x^2$ sur $[0, 3]$ vaut $9$, donc la valeur moyenne est $\frac{9}{3} = 3$. La courbe vaut $3$ en $c = \sqrt{3} \approx 1.732$.'
x: [-0.3, 3.3]
y: [-0.5, 9.5]
functions:
  - expr: x^2
    label: y = x²
  - expr: '3'
    label: valeur moyenne y = 3
    dashed: true
    domain: [0, 3]
shade: {expr: x^2, from: 0, to: 3}
points:
  - [1.732, 3, 'c = √3']
```

## Pourquoi la continuité compte

Soit $f(x) = 0$ pour $0 \le x < 1$ et $f(x) = 1$ pour $1 \le x \le 2$. Son intégrale sur $[0, 2]$ vaut $1$, donc sa valeur moyenne est $\frac{1}{2}$. Mais $f$ ne prend que les valeurs $0$ et $1$, jamais $\frac{1}{2}$. Le saut en $x = 1$ permet à la fonction d'enjamber sa moyenne. Avec la continuité, le [théorème des valeurs intermédiaires](/theorems/intermediate-value-theorem) l'empêche.

## Pourquoi le théorème est vrai

D'après le [théorème des bornes atteintes](/theorems/extreme-value-theorem), $f$ admet un minimum $m$ et un maximum $M$ sur $[a, b]$. Comme $m \le f(x) \le M$,

$$m(b - a) \le \int_a^b f(x)\,dx \le M(b - a) \implies m \le f_{\text{moy}} \le M$$

Ainsi $f_{\text{moy}}$ est comprise entre deux valeurs atteintes par $f$, et le théorème des valeurs intermédiaires fournit un $c$ tel que $f(c) = f_{\text{moy}}$.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : $f(x) = x^2$ sur $[0, 3]$.**

**Étape 1.** Valeur moyenne : $\frac{1}{3 - 0}\int_0^3 x^2\,dx = \frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{1}{3}\cdot 9 = 3$.

**Étape 2.** On résout $c^2 = 3$, donc $c = \pm\sqrt{3}$.

**Étape 3.** Seul $c = \sqrt{3} \approx 1.732$ appartient à $[0, 3]$.

**Exemple 2 : $f(x) = \sin x$ sur $[0, \pi]$.**

**Étape 1.** $f_{\text{moy}} = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin x\,dx = \frac{1}{\pi}\cdot 2 = \frac{2}{\pi} \approx 0.637$.

**Étape 2.** On résout $\sin c = \frac{2}{\pi}$. Sur $[0, \pi]$, il y a deux solutions :

$$c = \arcsin\frac{2}{\pi} \approx 0.690 \qquad \text{et} \qquad c = \pi - \arcsin\frac{2}{\pi} \approx 2.452$$

Le théorème en promet au moins une ; ici, il y en a deux.

**Exemple 3 : une fonction affine.** Pour $f(x) = 2x + 1$ sur $[0, 4]$, $\int_0^4 (2x + 1)\,dx = \big[x^2 + x\big]_0^4 = 20$, donc $f_{\text{moy}} = \frac{20}{4} = 5$. En résolvant $2c + 1 = 5$, on obtient $c = 2$, le milieu de l'intervalle. Pour toute fonction affine, la valeur moyenne est atteinte au milieu.

## Erreurs fréquentes

1. **Oublier de diviser par $b - a$.** L'intégrale est l'aire ; la valeur moyenne est l'aire divisée par la largeur.
2. **Garder des solutions hors de l'intervalle.** Dans l'exemple 1, $c = -\sqrt{3}$ doit être écarté.
3. **Le confondre avec le théorème des accroissements finis.** Celui-ci relie $f'(c)$ à la pente moyenne de $f$. Le théorème de la moyenne relie $f(c)$ à la valeur moyenne de $f$.

## Théorèmes liés

Ce théorème est le [théorème des accroissements finis](/theorems/mean-value-theorem) appliqué à $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$, en utilisant la [première partie du théorème fondamental](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-1) pour $F' = f$ et la [deuxième partie](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2) pour calculer l'intégrale. Pour en savoir plus sur les intégrales comme aires accumulées, consultez les [sommes de Riemann](/blog/riemann-sums) et le [guide du théorème fondamental de l'analyse](/blog/fundamental-theorem-of-calculus).

## Questions fréquentes

### Qu'est-ce que le théorème de la moyenne pour les intégrales ?

Si $f$ est continue sur $[a, b]$, il existe un nombre $c$ dans $[a, b]$ tel que $f(c) = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$. Autrement dit, $f$ prend au moins une fois sa valeur moyenne.

### Comment calculer la valeur moyenne d'une fonction ?

On intègre la fonction sur l'intervalle et on divise par la longueur de l'intervalle : $f_{\text{moy}} = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$. Pour $x^2$ sur $[0, 3]$, on obtient $\frac{1}{3}\cdot 9 = 3$.

### Quel est le lien entre le théorème de la moyenne et le théorème des accroissements finis ?

Posons $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$. Le théorème des accroissements finis appliqué à $F$ donne $F'(c) = \frac{F(b) - F(a)}{b - a}$, et comme $F' = f$, c'est exactement $f(c) = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$.

### c appartient-il à l'intervalle ouvert ou fermé ?

Les manuels énoncent généralement $c \in [a, b]$, ce que donne directement la démonstration par le théorème des bornes atteintes et le théorème des valeurs intermédiaires. Un argument un peu plus fin montre que l'on peut toujours choisir $c$ dans l'intervalle ouvert $(a, b)$.