# Théorème de Rolle : énoncé, hypothèses et exemples corrigés > Le théorème de Rolle : si f est continue sur [a, b], dérivable sur (a, b) et f(a) = f(b), alors f'(c) = 0 pour un certain c. Graphique et exemples. Source : https://practicecalculus.com/fr/theoremes/theoreme-de-rolle Mis à jour : 2026-11-03 $$ f'(c) = 0 \text{ pour un } c \in (a, b) $$ ## En bref - **Hypothèses:** $f$ continue sur $[a, b]$, dérivable sur $(a, b)$, et $f(a) = f(b)$ - **Conclusion:** Il existe $c$ dans $(a, b)$ tel que $f'(c) = 0$ - **Interprétation géométrique:** Quelque part entre deux hauteurs égales, la tangente est horizontale - **Généralisation:** Le théorème des accroissements finis - **Utilisé pour:** Montrer qu'une équation a au plus une racine, démontrer le théorème des accroissements finis - **Cours:** Analyse 1 ## À retenir - Si une fonction régulière prend la même valeur aux deux extrémités d'un intervalle, sa dérivée s'annule quelque part entre les deux. - Les trois hypothèses sont nécessaires : continuité sur $[a, b]$, dérivabilité sur $(a, b)$ et $f(a) = f(b)$. - Le théorème de Rolle est le cas particulier du théorème des accroissements finis où la sécante est horizontale. - Combiné au TVI, il permet de prouver qu'une équation a exactement une solution. Le **théorème de Rolle** affirme que si une fonction régulière commence et finit à la même hauteur, alors quelque part entre les deux sa courbe admet une tangente horizontale. C'est le plus simple des théorèmes de type « accroissements finis », et l'étape qui sert à démontrer les autres. ## Énoncé du théorème de Rolle Soit $f$ une fonction vérifiant les trois hypothèses : 1. $f$ est **continue** sur l'intervalle fermé $[a, b]$ ; 2. $f$ est **dérivable** sur l'intervalle ouvert $(a, b)$ ; 3. $f(a) = f(b)$. Alors il existe au moins un nombre $c$ dans $(a, b)$ tel que $$f'(c) = 0$$ ## Ce que signifie le théorème de Rolle Lancez une balle vers le haut et rattrapez-la à la même hauteur. À un moment entre le lancer et la réception, sa vitesse verticale a été exactement nulle : au sommet de la trajectoire. Le théorème de Rolle traduit cette observation pour toute fonction régulière. Si la courbe monte, elle doit faire demi-tour pour redescendre, et au point de retournement la pente est nulle. Si la fonction est constante, la pente est nulle partout. ```graph title: 'Théorème de Rolle : y = x³ − 4x sur [−2, 2] admet deux tangentes horizontales' caption: 'Comme $f(-2) = f(2) = 0$, le théorème de Rolle garantit une tangente horizontale dans $(-2, 2)$. Ici, il y en a deux, en $x = \pm\frac{2}{\sqrt{3}} \approx \pm 1.15$.' x: [-2.5, 2.5] y: [-4.5, 4.5] functions: - expr: x^3 - 4x label: y = x³ − 4x - expr: '3.079' label: tangentes horizontales dashed: true domain: [-1.9, -0.4] - expr: '-3.079' dashed: true domain: [0.4, 1.9] points: - [-2, 0, 'f(−2) = 0'] - [2, 0, 'f(2) = 0'] - [-1.1547, 3.079, 'c ≈ −1,15'] - [1.1547, -3.079, 'c ≈ 1,15'] ``` ## Pourquoi chaque hypothèse compte **Dérivabilité.** $f(x) = |x|$ sur $[-1, 1]$ est continue et $f(-1) = f(1) = 1$, mais sa courbe est un V pointu. Sa dérivée vaut $-1$ à gauche et $1$ à droite, et ne vaut jamais $0$. C'est le point anguleux en $x = 0$, où $f$ n'est pas dérivable, qui met le théorème en défaut. **Continuité aux extrémités.** Soit $f(x) = x$ pour $0 \le x < 1$ et $f(1) = 0$. Alors $f(0) = f(1) = 0$ et $f$ est dérivable sur $(0, 1)$, mais $f'(x) = 1$ partout à l'intérieur. Le saut en $x = 1$ rompt la continuité sur $[a, b]$. **Valeurs égales aux extrémités.** $f(x) = x$ sur $[0, 1]$ est parfaitement régulière, mais $f(0) \ne f(1)$ et $f'(x) = 1$ ne s'annule jamais. Lorsque les valeurs aux extrémités diffèrent, il faut utiliser le [théorème des accroissements finis](/theorems/mean-value-theorem). ## Exemples corrigés **Exemple 1 : trouver le $c$ pour $f(x) = x^2 - 4x + 3$ sur $[1, 3]$.** **Étape 1.** Vérifier les hypothèses. $f$ est un polynôme, donc elle est continue et dérivable partout. $f(1) = 1 - 4 + 3 = 0$ et $f(3) = 9 - 12 + 3 = 0$, donc $f(1) = f(3)$. **Étape 2.** On résout $f'(c) = 2c - 4 = 0$, ce qui donne $c = 2$, qui appartient à $(1, 3)$. Le sommet de la parabole est le point garanti. **Exemple 2 : $f(x) = x^3 - 4x$ sur $[-2, 2]$.** $f(-2) = -8 + 8 = 0$ et $f(2) = 8 - 8 = 0$, et $f$ est un polynôme. On résout $$f'(c) = 3c^2 - 4 = 0 \implies c = \pm\frac{2}{\sqrt{3}} \approx \pm 1.155$$ Les deux valeurs appartiennent à $(-2, 2)$ : cette fonction a donc deux points où la conclusion du théorème de Rolle est vérifiée. Le théorème en promettait au moins un. **Exemple 3 : montrer que $x^3 + x - 1 = 0$ admet exactement une solution réelle.** **Étape 1 (au moins une).** $f(x) = x^3 + x - 1$ est continue, $f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 1 > 0$. D'après le [théorème des valeurs intermédiaires](/theorems/intermediate-value-theorem), il existe une racine dans $(0, 1)$. **Étape 2 (au plus une).** Supposons qu'il existe deux racines $r_1 < r_2$. Alors $f(r_1) = f(r_2) = 0$, et le théorème de Rolle fournirait un $c$ entre elles tel que $f'(c) = 0$. Or $f'(x) = 3x^2 + 1 \ge 1$ pour tout $x$, donc $f'$ ne s'annule jamais. Cette contradiction montre qu'il ne peut pas y avoir deux racines. L'équation admet donc exactement une solution réelle. Ce raisonnement « TVI plus Rolle » est l'usage le plus fréquent du théorème en examen. ## Démonstration du théorème de Rolle D'après le [théorème des bornes atteintes](/theorems/extreme-value-theorem), $f$ admet un maximum et un minimum sur $[a, b]$. S'ils sont tous deux atteints aux extrémités, alors, comme $f(a) = f(b)$, la fonction est constante et $f' = 0$ partout. Sinon, l'un d'eux est atteint en un point intérieur $c$, et le [théorème de Fermat](/theorems/fermats-theorem) donne $f'(c) = 0$. ## Erreurs fréquentes 1. **Ne pas vérifier les hypothèses.** Les examens demandent souvent si le théorème de Rolle s'applique. Vérifiez explicitement la continuité, la dérivabilité et l'égalité $f(a) = f(b)$. 2. **Donner un $c$ hors de $(a, b)$.** Une solution de $f'(c) = 0$ hors de l'intervalle ouvert ne compte pas. 3. **Croire que le théorème trouve tous les points critiques.** Il garantit seulement au moins un point critique entre $a$ et $b$. ## Théorèmes liés Inclinez la figure pour que les extrémités soient à des hauteurs différentes et vous obtenez le [théorème des accroissements finis](/theorems/mean-value-theorem). Pour une présentation complète avec des applications, lisez le [guide du théorème des accroissements finis](/blog/mean-value-theorem), et consultez l'[étude de fonctions à l'aide des dérivées](/blog/curve-sketching-with-derivatives) pour voir où les tangentes horizontales interviennent. ## Questions fréquentes ### Quelles sont les trois hypothèses du théorème de Rolle ? La fonction doit être continue sur l'intervalle fermé $[a, b]$, dérivable sur l'intervalle ouvert $(a, b)$, et prendre la même valeur aux extrémités, $f(a) = f(b)$. Si les trois sont vérifiées, $f'(c) = 0$ pour un certain $c$ dans $(a, b)$. ### Quelle est la différence entre le théorème de Rolle et le théorème des accroissements finis ? Le théorème de Rolle exige $f(a) = f(b)$ et conclut que $f'(c) = 0$. Le théorème des accroissements finis supprime cette exigence et conclut que $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Le théorème de Rolle est le cas particulier où cette pente est nulle. ### Peut-il y avoir plusieurs valeurs de c dans le théorème de Rolle ? Oui. Le théorème en garantit au moins une. Par exemple, $f(x) = x^3 - 4x$ sur $[-2, 2]$ en a deux, $c = \pm\frac{2}{\sqrt{3}}$. ### Pourquoi le théorème de Rolle ne s'applique-t-il pas à |x| sur [-1, 1] ? Parce que $|x|$ n'est pas dérivable en $x = 0$. Les valeurs aux extrémités sont égales, mais la dérivée vaut $-1$ ou $1$ partout où elle existe, jamais $0$.