# Théorème de Schwarz : égalité des dérivées partielles croisées > Théorème de Schwarz (ou de Clairaut) : si f_xy et f_yx sont continues, elles sont égales. Énoncé, contre-exemple classique, graphique et exemples corrigés. Source : https://practicecalculus.com/fr/theoremes/theoreme-de-schwarz Mis à jour : 2026-11-03 $$ f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b) $$ ## En bref - **Autres noms:** Théorème de Clairaut, symétrie des dérivées secondes - **Hypothèses:** $f$ est définie sur un disque autour de $(a, b)$, et $f_{xy}$ et $f_{yx}$ sont toutes deux continues sur ce disque - **Conclusion:** $f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)$ - **En pratique:** Dériver dans l'ordre le plus simple - **Sert à:** Tester si un champ de vecteurs est un champ de gradient, la matrice hessienne - **Cours:** Analyse 3 ## À retenir - Si les deux dérivées partielles croisées sont continues près d'un point, l'ordre de dérivation n'a pas d'importance en ce point. - Les polynômes, les exponentielles, les sinus, les cosinus et leurs combinaisons vérifient les hypothèses partout où ils sont définis. - Sans continuité, les dérivées croisées peuvent différer, comme le montre le contre-exemple classique à l'origine. - Le théorème donne un test rapide : un champ $\langle P, Q \rangle$ avec $P_y \ne Q_x$ ne peut pas être un gradient. Le **théorème de Schwarz**, aussi appelé **théorème de Clairaut**, affirme que pour une fonction de deux variables suffisamment régulière, l'ordre dans lequel on calcule les dérivées partielles croisées n'a pas d'importance : dériver par rapport à $x$ puis à $y$ donne le même résultat que par rapport à $y$ puis à $x$. C'est pour cette raison qu'une fonction possède une seule matrice hessienne, et non deux. ## Énoncé du théorème de Schwarz Soit $f(x, y)$ définie sur un disque ouvert $D$ contenant le point $(a, b)$. Si les dérivées partielles croisées $f_{xy}$ et $f_{yx}$ sont toutes deux **continues** sur $D$, alors $$f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)$$ Notation : $f_{xy} = (f_x)_y$ signifie que l'on dérive d'abord par rapport à $x$, puis par rapport à $y$. En notation de Leibniz, $f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$. Le théorème s'étend à plus de variables et à des ordres supérieurs : lorsque les dérivées partielles sont continues, seul compte le nombre de dérivations par rapport à chaque variable. ## Ce que signifie le théorème de Schwarz $f_{xy}$ mesure comment la pente de la surface dans la direction $x$ varie lorsqu'on se déplace dans la direction $y$. $f_{yx}$ mesure comment la pente dans la direction $y$ varie lorsqu'on se déplace dans la direction $x$. Le théorème dit que ces deux « torsions » de la surface sont le même nombre. Prenons $f(x, y) = x^2 y$. En coupant la surface à $y$ fixé, on obtient les courbes $y = 1$: $x^2$, $y = 2$: $2x^2$, $y = 3$: $3x^2$. ```graph title: 'Théorème de Schwarz : coupes de f(x, y) = x²y en y = 1, 2, 3' caption: 'En $x = 1$, les coupes ont pour pentes en $x$ respectivement $2$, $4$ et $6$, donc $f_x$ augmente de $2$ par unité de $y$ : $f_{xy}(1, y) = 2$. En calculant d''abord $f_y = x^2$ puis $f_{yx} = 2x = 2$, on obtient le même nombre.' x: [-2, 2] y: [-0.5, 8] functions: - expr: x^2 label: coupe y = 1 - expr: 2x^2 label: coupe y = 2 - expr: 3x^2 label: coupe y = 3 points: - [1, 1, 'pente 2'] - [1, 2, 'pente 4'] - [1, 3, 'pente 6'] vertical: - {x: 1, label: 'x = 1'} ``` ## Pourquoi la continuité compte : le contre-exemple classique On définit $$f(x, y) = \begin{cases} \dfrac{xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2} & (x, y) \ne (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$$ Le long des axes, un calcul direct à partir de la définition par la limite donne $f_x(0, y) = -y$ et $f_y(x, 0) = x$. Par conséquent $$f_{xy}(0, 0) = \frac{\partial}{\partial y}(-y) = -1, \qquad f_{yx}(0, 0) = \frac{\partial}{\partial x}(x) = 1$$ Les dérivées croisées sont différentes. Le théorème de Schwarz n'est pas contredit pour autant : $f_{xy}$ et $f_{yx}$ ne sont pas continues à l'origine, donc l'hypothèse n'est pas vérifiée. ## Exemples corrigés **Exemple 1 : vérifier le théorème pour $f(x, y) = x^3 y^2 + \sin(xy)$.** **Étape 1.** Dérivées partielles premières : $$f_x = 3x^2 y^2 + y\cos(xy), \qquad f_y = 2x^3 y + x\cos(xy)$$ **Étape 2.** On dérive $f_x$ par rapport à $y$ (règle du produit sur $y\cos(xy)$) : $$f_{xy} = 6x^2 y + \cos(xy) - xy\sin(xy)$$ **Étape 3.** On dérive $f_y$ par rapport à $x$ (règle du produit sur $x\cos(xy)$) : $$f_{yx} = 6x^2 y + \cos(xy) - xy\sin(xy)$$ Les deux résultats coïncident, comme le prévoit le théorème pour une fonction construite à partir de polynômes et de sinus. **Exemple 2 : choisir l'ordre le plus simple.** Calculer $f_{xy}$ pour $f(x, y) = y e^{x^2} + x\ln(1 + y^4)$, pour tout $(x, y)$. Dériver d'abord par rapport à $x$ oblige à appliquer la règle de dérivation en chaîne sur $e^{x^2}$, puis sur $\ln(1 + y^4)$. Utilisons plutôt $f_{xy} = f_{yx}$ : $$f_y = e^{x^2} + \frac{4xy^3}{1 + y^4}, \qquad f_{yx} = 2xe^{x^2} + \frac{4y^3}{1 + y^4}$$ Toutes les dérivées partielles sont continues partout, donc $f_{xy} = 2xe^{x^2} + \frac{4y^3}{1 + y^4}$. **Exemple 3 : tester si un champ est un gradient.** Si $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle = \nabla f$, alors $P = f_x$ et $Q = f_y$, donc le théorème impose $P_y = f_{xy} = f_{yx} = Q_x$. - $\mathbf{F} = \langle 2xy,\; x^2 + 3y^2 \rangle$ : $P_y = 2x = Q_x$, ce qui est compatible avec un gradient, et en effet $\mathbf{F} = \nabla(x^2 y + y^3)$. - $\mathbf{F} = \langle y,\; -x \rangle$ : $P_y = 1$ mais $Q_x = -1$, donc $\mathbf{F}$ n'est le gradient d'aucune fonction. ## Erreurs fréquentes 1. **Lire la notation de Leibniz dans le mauvais ordre.** $\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$ signifie qu'on dérive d'abord par rapport à $x$. Quand le théorème s'applique, l'ordre est sans importance, mais dans le contre-exemple, il compte. 2. **Supposer l'égalité sans continuité.** C'est pour les fonctions définies par morceaux, avec une valeur imposée séparément en un point, que le théorème peut tomber en défaut. 3. **Croire que $P_y = Q_x$ suffit à prouver qu'un champ est un gradient.** C'est une condition nécessaire ; elle n'est suffisante que sur un domaine simplement connexe, une subtilité liée à la [formule de Green-Riemann](/theorems/greens-theorem). ## Théorèmes et guides associés Pour calculer des dérivées partielles, consultez le guide sur les [dérivées partielles](/blog/partial-derivatives). Le théorème de Schwarz est à la base du test du rotationnel pour les champs de gradient utilisé avec la [formule de Green-Riemann](/theorems/greens-theorem) et le [théorème de Stokes](/theorems/stokes-theorem), et il rend symétrique le [développement de Taylor](/theorems/taylors-theorem) à plusieurs variables. ## Questions fréquentes ### Que dit le théorème de Schwarz ? Si $f(x, y)$ est définie sur un disque contenant $(a, b)$ et que les dérivées partielles croisées $f_{xy}$ et $f_{yx}$ sont toutes deux continues sur ce disque, alors $f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)$. ### Les dérivées partielles croisées sont-elles toujours égales ? Non. Elles sont égales lorsqu'elles sont continues, ce qui couvre presque toutes les fonctions rencontrées en cours. La fonction $f = \frac{xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2}$ avec $f(0, 0) = 0$ vérifie $f_{xy}(0, 0) = -1$ mais $f_{yx}(0, 0) = 1$. ### Que signifie f_xy ? On dérive d'abord par rapport à $x$, puis par rapport à $y$ : $f_{xy} = (f_x)_y$. En notation de Leibniz, cela s'écrit $\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$, les variables se lisant de droite à gauche. ### Le théorème de Schwarz s'applique-t-il aux dérivées d'ordre 3 ? Oui. Si toutes les dérivées partielles en jeu sont continues, une dérivée croisée ne dépend que du nombre de dérivations par rapport à chaque variable, pas de leur ordre. Par exemple $f_{xyy} = f_{yxy} = f_{yyx}$.