# Théorème de Stokes : énoncé, orientation et exemples corrigés

> Le théorème de Stokes : la circulation d'un champ le long d'une courbe fermée est égale au flux de son rotationnel à travers une surface qu'elle borde.

Source : https://practicecalculus.com/fr/theoremes/theoreme-de-stokes
Mis à jour : 2026-11-03

$$ \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S} $$

## En bref

- **Hypothèses:** $S$ est une surface orientée, régulière par morceaux, bordée par une courbe $C$ simple, fermée, régulière par morceaux et orientée positivement, et $\mathbf{F}$ admet des dérivées partielles continues sur un ouvert contenant $S$
- **Orientation positive:** Règle de la main droite : le pouce dirigé selon la normale à $S$, les doigts s'enroulent dans le sens de parcours de $C$
- **Rotationnel:** $\nabla\times\mathbf{F} = \langle R_y - Q_z,\; P_z - R_x,\; Q_x - P_y \rangle$
- **Conséquence essentielle:** Le flux du rotationnel ne dépend que de la courbe qui borde la surface, pas de la surface choisie
- **Cas particulier:** La formule de Green-Riemann, lorsque $S$ est un domaine plan du plan $xy$
- **Cours:** Analyse 3

## À retenir

- La circulation de $\mathbf{F}$ le long d'une courbe fermée est égale au flux de $\nabla\times\mathbf{F}$ à travers toute surface bordée par cette courbe.
- Les orientations doivent être compatibles selon la règle de la main droite. Une orientation inversée change le signe.
- Comme seul le bord compte, on peut remplacer une surface courbe par une surface plane ayant le même bord.
- $\mathbf{F}$ doit être régulier sur toute la surface. Une ligne singulière qui traverse la surface met le théorème en défaut.

Le **théorème de Stokes** affirme que la circulation d'un champ de vecteurs le long d'une courbe fermée de l'espace est égale au flux total du rotationnel à travers toute surface dont cette courbe est le bord. C'est la [formule de Green-Riemann](/theorems/greens-theorem) sortie du plan et transposée aux surfaces courbes.

## Énoncé du théorème de Stokes

Soient

1. $S$ une **surface orientée, régulière par morceaux**, de normale unitaire $\mathbf{n}$,
2. $C$ le bord de $S$, une **courbe simple, fermée, régulière par morceaux**, munie de l'**orientation positive** (règle de la main droite par rapport à $\mathbf{n}$), et
3. $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$ un champ admettant des **dérivées partielles continues** sur un ouvert contenant $S$.

Alors

$$\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}$$

où $\nabla\times\mathbf{F} = \langle R_y - Q_z,\; P_z - R_x,\; Q_x - P_y \rangle$ et $d\mathbf{S} = \mathbf{n}\,dS$.

## Ce que signifie le théorème de Stokes

Le rotationnel en un point mesure à quel point le champ tourbillonne autour de ce point, comme une petite roue à aubes. Recouvrez la surface de petits morceaux et additionnez le tourbillon autour de chacun. Sur chaque arête commune, deux morceaux voisins sont parcourus en sens opposés et leurs contributions s'annulent : il ne reste que le tourbillon le long du bord extérieur, c'est-à-dire la circulation le long de $C$.

Conséquence frappante : la surface elle-même n'a pas d'importance, seul son bord compte. Une demi-sphère et un disque plan ayant le même bord circulaire ont le même flux du rotationnel.

## Pourquoi chaque hypothèse compte

**Orientations compatibles.** Si $C$ est parcourue dans le sens contraire à la règle de la main droite, l'intégrale curviligne change de signe mais pas l'intégrale de surface : l'égalité est alors fausse d'un facteur $-1$.

**Régularité sur la surface.** Le champ $\mathbf{F} = \left\langle \frac{-y}{x^2 + y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2}, 0 \right\rangle$ vérifie $\nabla\times\mathbf{F} = \mathbf{0}$ partout où il est défini, mais sa circulation le long du cercle unité du plan $xy$ vaut $2\pi$. Toute surface bordée par ce cercle doit traverser l'axe des $z$, où $\mathbf{F}$ n'est pas défini, donc le théorème de Stokes ne s'applique pas.

**Une courbe qui borde la surface.** Une surface fermée comme une sphère n'a pas de bord, donc $\iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S} = 0$ pour elle. Cela concorde avec le [théorème de flux-divergence](/theorems/divergence-theorem), puisque $\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F}) = 0$.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : une demi-sphère et son bord.** Soit $\mathbf{F} = \langle -y, x, z \rangle$ et soit $S$ la moitié supérieure de la sphère unité, de normale dirigée vers le haut, de sorte que $C$ est le cercle unité du plan $xy$, parcouru dans le sens trigonométrique vu d'en haut.

**Intégrale curviligne.** Avec $\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, 0 \rangle$ :

$$\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_0^{2\pi} \left((-\sin t)(-\sin t) + (\cos t)(\cos t)\right) dt = \int_0^{2\pi} 1\,dt = 2\pi$$

**Intégrale de surface.** $\nabla\times\mathbf{F} = \langle 0 - 0,\; 0 - 0,\; 1 - (-1) \rangle = \langle 0, 0, 2 \rangle$. Comme seul le bord compte, on remplace la demi-sphère par le disque unité plan de normale $\mathbf{k}$ : le flux vaut $2 \cdot \pi = 2\pi$. Les deux membres coïncident.

**Exemple 2 : un triangle dans l'espace.** Calculer $\oint_C z\,dx + x\,dy + y\,dz$, où $C$ est le triangle de sommets $(1, 0, 0)$, $(0, 1, 0)$, $(0, 0, 1)$, parcouru dans le sens trigonométrique vu d'en haut.

**Étape 1.** Pour $\mathbf{F} = \langle z, x, y \rangle$, $\nabla\times\mathbf{F} = \langle 1 - 0,\; 1 - 0,\; 1 - 0 \rangle = \langle 1, 1, 1 \rangle$.

**Étape 2.** On prend pour $S$ le triangle plan situé sur le plan $z = 1 - x - y$, de normale dirigée vers le haut. Pour une surface d'équation $z = g(x, y)$, $d\mathbf{S} = \langle -g_x, -g_y, 1 \rangle\,dA = \langle 1, 1, 1 \rangle\,dA$.

**Étape 3.** $(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\langle 1, 1, 1 \rangle = 3$, que l'on intègre sur la projection, le triangle $x, y \ge 0$, $x + y \le 1$ d'aire $\frac{1}{2}$ :

$$\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 3\cdot\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$

Une seule intégrale de surface remplace trois intégrales curvilignes le long des côtés.

**Exemple 3 : les champs de gradient.** Si $\mathbf{F} = \nabla f$ avec $f$ de dérivées partielles secondes continues, alors $\nabla\times\mathbf{F} = \mathbf{0}$ d'après le [théorème de Schwarz](/theorems/clairauts-theorem), et le théorème de Stokes donne $\oint_C \nabla f\cdot d\mathbf{r} = 0$ pour toute courbe fermée qui borde une surface. Un champ de gradient ne fournit aucun travail net le long d'une boucle fermée.

## Erreurs fréquentes

1. **Orientations incompatibles.** Choisissez d'abord la normale, puis orientez $C$ avec la règle de la main droite.
2. **Calculer le rotationnel de travers.** Écrivez soigneusement le déterminant ; la composante du milieu est $P_z - R_x$, et non $R_x - P_z$.
3. **Garder la surface compliquée.** Si le rotationnel est simple, une surface plane de même bord est en général beaucoup plus facile.

## Théorèmes et guides liés

Le théorème de Stokes généralise la [formule de Green-Riemann](/theorems/greens-theorem) et figure aux côtés du [théorème de flux-divergence](/theorems/divergence-theorem) parmi les trois grands théorèmes de l'analyse vectorielle. Tous trois sont des versions en dimension supérieure du [théorème fondamental de l'analyse](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2). Pour le produit vectoriel qui sous-tend le rotationnel, consultez [vecteurs, produit scalaire et produit vectoriel](/blog/vectors-dot-and-cross-product), et pour les dérivées partielles, consultez [dérivées partielles](/blog/partial-derivatives).

## Questions fréquentes

### Que dit le théorème de Stokes ?

Si $S$ est une surface orientée, régulière par morceaux, de bord $C$ orienté selon la règle de la main droite, et si $\mathbf{F}$ admet des dérivées partielles continues au voisinage de $S$, alors $\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}$.

### Comment orienter la courbe dans le théorème de Stokes ?

Dirigez le pouce de la main droite selon le vecteur normal choisi pour $S$. Vos doigts s'enroulent dans le sens positif de $C$. De façon équivalente, en marchant le long de $C$, la tête dirigée selon la normale, la surface reste à votre gauche.

### Pourquoi peut-on changer de surface dans le théorème de Stokes ?

Le membre de droite est égal à l'intégrale curviligne le long de $C$, qui ne dépend que de la courbe. Deux surfaces de même bord et d'orientations compatibles ont donc le même flux du rotationnel, et l'on peut choisir la plus simple, souvent un disque plan.

### Quel est le lien entre le théorème de Stokes et la formule de Green-Riemann ?

Si $S$ est un domaine plan du plan $xy$ de normale $\mathbf{k}$ dirigée vers le haut, alors $(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{k} = Q_x - P_y$, et le théorème de Stokes devient la formule de Green-Riemann.