# Théorème des accroissements finis (TAF) : énoncé et exemples

> Le théorème des accroissements finis : une fonction dérivable sur [a, b] admet un point où la pente de la tangente égale la pente moyenne. Énoncé et exemples.

Source : https://practicecalculus.com/fr/theoremes/theoreme-des-accroissements-finis
Mis à jour : 2026-11-03

$$ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} $$

## En bref

- **Hypothèses:** $f$ continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $(a, b)$
- **Conclusion:** Il existe $c$ dans $(a, b)$ tel que $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$
- **Interprétation géométrique:** Une tangente est parallèle à la sécante passant par les extrémités
- **Interprétation physique:** À un certain instant, la vitesse instantanée est égale à la vitesse moyenne
- **Cas particulier:** Le théorème de Rolle, lorsque $f(a) = f(b)$
- **Cours:** Analyse 1

## À retenir

- Quelque part entre $a$ et $b$, le taux de variation instantané est égal au taux de variation moyen.
- La fonction doit être continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $(a, b)$. Un point anguleux ou un saut peut faire échouer la conclusion.
- Le TAF transforme un encadrement de $f'$ en un encadrement de la variation de $f$.
- Si $f'(x) = 0$ sur un intervalle, le TAF prouve que $f$ y est constante.

Le **théorème des accroissements finis** (TAF) affirme que, pour une fonction régulière, le taux de variation moyen sur un intervalle est atteint comme taux de variation instantané en un point intérieur à cet intervalle. Géométriquement, une tangente est parallèle à la sécante qui relie les extrémités.

## Énoncé du théorème des accroissements finis

Soit $f$ une fonction vérifiant les deux hypothèses :

1. $f$ est **continue** sur l'intervalle fermé $[a, b]$ ;
2. $f$ est **dérivable** sur l'intervalle ouvert $(a, b)$.

Alors il existe au moins un nombre $c$ dans $(a, b)$ tel que

$$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

De manière équivalente, $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$. C'est cette seconde forme que l'on utilise dans les démonstrations : elle transforme une information sur la dérivée en une information sur la fonction.

## Ce que signifie le TAF

La fraction $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ est la pente de la sécante, c'est-à-dire le taux de variation **moyen**. $f'(c)$ est la pente de la tangente, un taux de variation **instantané**. Le TAF affirme que les deux coïncident quelque part. Si votre vitesse moyenne sur un trajet était de 60 km/h, à un certain instant vous rouliez à exactement 60 km/h.

```graph
title: 'Théorème des accroissements finis : tangente à y = x³ parallèle à la sécante sur [0, 2]'
caption: 'La sécante de $(0, 0)$ à $(2, 8)$ a pour pente $4$. En $c = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155$, la tangente a la même pente.'
x: [-0.5, 2.5]
y: [-4, 10]
functions:
  - expr: x^3
    label: y = x³
  - expr: 4x
    label: sécante, pente 4
    domain: [0, 2]
  - expr: 4x - 3.0792
    label: tangente en c
    dashed: true
points:
  - [0, 0, 'a = 0']
  - [2, 8, 'b = 2']
  - [1.1547, 1.5396, 'c ≈ 1,155']
```

## Pourquoi chaque hypothèse compte

**Dérivabilité.** Prenons $f(x) = |x|$ sur $[-1, 2]$. Elle est continue, et la pente de la sécante vaut $\frac{2 - 1}{2 - (-1)} = \frac{1}{3}$. Mais $f'(x)$ vaut $-1$ pour $x < 0$ et $1$ pour $x > 0$, jamais $\frac{1}{3}$. Le coupable est le point anguleux en $0$.

**Continuité.** Prenons $f(x) = \frac{1}{x}$ sur $[-1, 1]$. La pente de la sécante vaut $\frac{1 - (-1)}{2} = 1$, et pourtant $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ est toujours négative. La fonction n'est pas continue en $0$, donc le TAF ne s'applique pas.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : trouver $c$ pour $f(x) = x^3$ sur $[0, 2]$.**

**Étape 1.** $f$ est un polynôme, donc les deux hypothèses sont vérifiées.

**Étape 2.** Pente moyenne : $\frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \frac{8}{2} = 4$.

**Étape 3.** On résout $f'(c) = 3c^2 = 4$, ce qui donne $c = \pm\frac{2}{\sqrt{3}}$. Seul $c = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155$ appartient à $(0, 2)$.

**Exemple 2 : trouver $c$ pour $f(x) = \sqrt{x}$ sur $[1, 4]$.**

$f$ est continue sur $[1, 4]$ et dérivable sur $(1, 4)$. La pente moyenne vaut $\frac{2 - 1}{4 - 1} = \frac{1}{3}$. On résout

$$\frac{1}{2\sqrt{c}} = \frac{1}{3} \implies \sqrt{c} = \frac{3}{2} \implies c = \frac{9}{4}$$

et $\frac{9}{4} = 2.25$ appartient bien à $(1, 4)$.

**Exemple 3 : majorer une fonction.** On suppose que $f(0) = 1$ et que $f'(x) \le 3$ pour tout $x$. Quelle valeur maximale peut prendre $f(2)$ ?

D'après le TAF sur $[0, 2]$, $f(2) - f(0) = f'(c) \cdot 2$ pour un certain $c$. Comme $f'(c) \le 3$,

$$f(2) \le 1 + 3 \cdot 2 = 7$$

On obtient une information sur $f(2)$ sans connaître la fonction. C'est ainsi que le TAF sert dans les démonstrations et dans les estimations d'erreur de l'[approximation affine](/blog/linear-approximation). En France, ce résultat est souvent appelé inégalité des accroissements finis.

## Conséquences essentielles

- **Dérivée nulle signifie fonction constante.** Si $f'(x) = 0$ sur un intervalle, alors pour deux points quelconques $f(x_2) - f(x_1) = 0 \cdot (x_2 - x_1) = 0$, donc $f$ est constante.
- **Même dérivée signifie différence constante.** Si $f' = g'$, alors $f - g$ est constante. C'est pourquoi toute [primitive](/blog/antiderivatives) s'écrit avec un $+ C$.
- **Le signe de $f'$ donne le sens de variation.** Si $f' > 0$ sur un intervalle, $f$ y est croissante : c'est le fondement de l'étude des variations par le signe de la dérivée.

## Erreurs fréquentes

1. **Donner un $c$ hors de $(a, b)$.** Résolvez $f'(c) = \text{pente}$, puis écartez les racines qui ne sont pas dans l'intervalle ouvert.
2. **Oublier de vérifier les hypothèses.** Pour les fonctions avec des racines, des valeurs absolues ou des fractions, vérifiez d'abord la continuité et la dérivabilité.
3. **Croire que le TAF localise $c$.** Il garantit seulement qu'un tel point existe. Dans de nombreuses applications, comme dans l'exemple 3, on ne détermine jamais $c$.

## Théorèmes liés

Le TAF se démontre à partir du [théorème de Rolle](/theorems/rolles-theorem) en soustrayant la sécante à $f$. Son jumeau intégral est le [théorème de la moyenne](/theorems/mean-value-theorem-for-integrals), et la [formule de Taylor](/theorems/taylors-theorem) en est une version d'ordre supérieur. Pour plus d'applications et d'exercices, lisez le [guide complet du théorème des accroissements finis](/blog/mean-value-theorem).

## Questions fréquentes

### Que dit le théorème des accroissements finis ?

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $(a, b)$, alors il existe un nombre $c$ dans $(a, b)$ tel que $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. La pente de la tangente en $c$ est égale à la pente de la sécante reliant $a$ à $b$.

### Comment trouver c dans le théorème des accroissements finis ?

Calculez le taux de variation moyen $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$, posez $f'(c)$ égal à cette valeur, résolvez en $c$ et ne gardez que les solutions situées dans l'intervalle ouvert $(a, b)$.

### Quel est un exemple concret du théorème des accroissements finis ?

Si vous parcourez 120 km en 2 heures, votre vitesse moyenne est de 60 km/h. Le TAF affirme alors que votre compteur a affiché exactement 60 km/h à un moment du trajet.

### Pourquoi la dérivabilité est-elle nécessaire dans le théorème des accroissements finis ?

Sans elle, la courbe peut présenter un point anguleux et aucune tangente n'a la pente de la sécante. Pour $f(x) = |x|$ sur $[-1, 2]$, la pente de la sécante vaut $\frac{1}{3}$, mais la dérivée ne vaut jamais que $-1$ ou $1$.