# Théorème des gendarmes : énoncé, idée de preuve et exemples

> Le théorème des gendarmes (d'encadrement) : si g ≤ f ≤ h près de a et si g et h ont la même limite L, alors f tend aussi vers L. Énoncé, graphique, exemples.

Source : https://practicecalculus.com/fr/theoremes/theoreme-des-gendarmes
Mis à jour : 2026-11-03

$$ g(x) \le f(x) \le h(x) \implies \lim_{x \to a} f(x) = L $$

## En bref

- **Autres noms:** Théorème d'encadrement, théorème du sandwich
- **Hypothèses:** $g(x) \le f(x) \le h(x)$ près de $a$, et $g$ et $h$ ont la même limite $L$ en $a$
- **Conclusion:** $\lim_{x \to a} f(x) = L$
- **Idéal pour:** Les limites avec un facteur oscillant borné, comme $\sin\frac{1}{x}$ ou $\cos x$
- **Application célèbre:** $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
- **Cours:** Analyse 1

## À retenir

- Encadrez la fonction entre deux fonctions plus simples qui ont la même limite : la fonction est alors forcée d'avoir cette limite.
- Les deux fonctions qui encadrent doivent avoir la même limite. Si elles tendent vers des valeurs différentes, le théorème ne dit rien.
- L'encadrement doit seulement être vrai près de $a$, pas partout, et il n'a pas besoin d'être vrai en $a$ lui-même.
- La plupart des exercices sur les gendarmes partent de $-1 \le \sin(\text{n'importe quoi}) \le 1$ ou de $-1 \le \cos(\text{n'importe quoi}) \le 1$.

Le **théorème des gendarmes** permet de trouver une limite que l'on ne sait pas calculer directement, en encadrant la fonction entre deux fonctions dont on sait calculer les limites. Si la borne inférieure et la borne supérieure tendent vers le même nombre, la fonction prise entre elles doit tendre vers ce nombre aussi.

## Énoncé du théorème des gendarmes

Soient $f$, $g$ et $h$ des fonctions définies sur un intervalle ouvert contenant $a$, sauf peut-être en $a$ lui-même. On suppose que

1. $g(x) \le f(x) \le h(x)$ pour tout $x$ de cet intervalle avec $x \ne a$, et
2. $\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$.

Alors

$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$

Le même énoncé vaut pour les limites à gauche et à droite et pour les limites quand $x \to \infty$ ou $x \to -\infty$, à condition que l'encadrement soit vrai sur l'intervalle correspondant ou pour tout $|x|$ suffisamment grand.

## Ce que dit le théorème des gendarmes en termes simples

Imaginez deux courbes qui se rejoignent en un seul point au-dessus de $x = a$. Toute courbe tracée entre elles n'a aucune marge de manœuvre près de $a$ : elle est obligée de passer par ce même point. Le théorème transforme cette image en règle : vous n'avez jamais besoin de calculer $\lim f(x)$ directement, seulement les limites des deux bornes.

```graph
title: 'Théorème des gendarmes : y = x² sin(1/x) coincée entre y = −x² et y = x²'
caption: 'La courbe oscillante $x^2\sin\frac{1}{x}$ reste toujours entre $-x^2$ et $x^2$. Les deux bornes tendent vers $0$ en $x = 0$, donc elle aussi.'
x: [-0.6, 0.6]
y: [-0.4, 0.4]
functions:
  - expr: x^2 sin(1/x)
    label: y = x² sin(1/x)
  - expr: x^2
    label: y = x²
    dashed: true
  - expr: -x^2
    label: y = −x²
    dashed: true
points:
  - [0, 0, 'limite 0', open]
```

## Pourquoi chaque hypothèse compte

**Les bornes doivent avoir la même limite.** Tout $x \ne 0$ vérifie $-1 \le \sin\frac{1}{x} \le 1$, mais les bornes tendent vers $-1$ et $1$, qui sont différents. Le théorème ne permet aucune conclusion, et d'ailleurs $\lim_{x \to 0}\sin\frac{1}{x}$ n'existe pas : la fonction prend une infinité de fois chaque valeur de $[-1, 1]$ près de $0$.

**L'encadrement doit être vrai près de $a$.** Une inégalité vraie seulement loin de $a$ ne dit rien sur la limite en $a$. En revanche, elle peut être fausse en $a$ lui-même, ou plus loin, sans conséquence. Seul compte un petit intervalle autour de $a$.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : $\lim_{x \to 0} x^2\sin\frac{1}{x}$.**

**Étape 1.** Encadrer le facteur oscillant : $-1 \le \sin\frac{1}{x} \le 1$ pour tout $x \ne 0$.

**Étape 2.** Multiplier par $x^2$, qui est positif pour $x \ne 0$, donc les inégalités gardent leur sens :

$$-x^2 \le x^2\sin\frac{1}{x} \le x^2$$

**Étape 3.** $-x^2$ et $x^2$ tendent toutes deux vers $0$ quand $x \to 0$. D'après le théorème des gendarmes, $\lim_{x \to 0} x^2\sin\frac{1}{x} = 0$.

La substitution directe échoue ici car $\sin\frac{1}{0}$ n'est pas défini, et la règle du produit des limites échoue car $\lim \sin\frac{1}{x}$ n'existe pas. Le théorème des gendarmes est le bon outil.

**Exemple 2 : $\lim_{x \to \infty} \frac{\cos x}{x}$.**

Pour $x > 0$, l'encadrement $-1 \le \cos x \le 1$ donne

$$-\frac{1}{x} \le \frac{\cos x}{x} \le \frac{1}{x}$$

Les deux bornes tendent vers $0$ quand $x \to \infty$, donc $\frac{\cos x}{x} \to 0$. Consultez les [limites en l'infini](/blog/limits-at-infinity) pour d'autres limites de ce type.

**Exemple 3 : la limite célèbre $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$.**

Un raisonnement géométrique sur le cercle trigonométrique montre que pour $0 < |x| < \frac{\pi}{2}$,

$$\cos x \le \frac{\sin x}{x} \le 1$$

Quand $x \to 0$, $\cos x \to 1$ et la constante $1$ reste égale à $1$. Le théorème des gendarmes donne $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$. Cette seule limite explique pourquoi $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$, comme le montre la page sur les [dérivées des fonctions trigonométriques](/blog/derivatives-of-trig-functions).

## Comment utiliser le théorème des gendarmes

1. Repérez la partie qui pose problème, en général un sinus ou un cosinus d'une expression qui tend vers l'infini.
2. Encadrez-la par des constantes, typiquement $-1$ et $1$.
3. Multipliez ou ajoutez pour reconstruire $f(x)$ au milieu. Si vous multipliez par une quantité négative, inversez les inégalités.
4. Calculez la limite de chaque borne. Si elles coïncident, c'est terminé.

Un raccourci utile : si $|f(x)| \le h(x)$ et $h(x) \to 0$, alors $f(x) \to 0$. C'est le théorème des gendarmes avec $g = -h$.

## Erreurs fréquentes

1. **Utiliser des bornes de limites différentes.** Les bornes $-1$ et $1$ pour $\sin\frac{1}{x}$ seul ne prouvent rien. Il faut multiplier par une expression qui tend vers zéro.
2. **Oublier le signe en multipliant.** Pour $x\sin\frac{1}{x}$ avec $x < 0$, les inégalités changent de sens. Utiliser $|x\sin\frac{1}{x}| \le |x|$ évite le problème.
3. **Décomposer la limite en produit.** Écrire $\lim x^2 \cdot \lim \sin\frac{1}{x}$ est incorrect car la seconde limite n'existe pas.

## Théorèmes et guides liés

Le théorème des gendarmes est l'un des outils de base pour [calculer des limites](/blog/how-to-evaluate-limits). Il est souvent enseigné en même temps que le [théorème des valeurs intermédiaires](/theorems/intermediate-value-theorem) et le [théorème des bornes atteintes](/theorems/extreme-value-theorem), qui décrivent ce que les fonctions continues sont obligées de faire. Pour une introduction en douceur à la notion de limite, commencez par [qu'est-ce qu'une limite](/blog/what-is-a-limit).

## Questions fréquentes

### Qu'est-ce que le théorème des gendarmes ?

Si $g(x) \le f(x) \le h(x)$ pour tout $x$ proche de $a$, et si $g$ et $h$ tendent toutes deux vers $L$ quand $x \to a$, alors $f(x)$ tend aussi vers $L$. La fonction du milieu est coincée vers la même limite.

### Quand faut-il utiliser le théorème des gendarmes ?

Utilisez-le lorsqu'une limite contient un facteur qui oscille tout en restant borné, comme $\sin\frac{1}{x}$, et que les techniques algébriques habituelles échouent. Encadrez la partie oscillante, multipliez l'encadrement, puis vérifiez que les deux bornes ont la même limite.

### Le théorème des gendarmes fonctionne-t-il pour les limites en l'infini ?

Oui. Si $g(x) \le f(x) \le h(x)$ pour tout $x$ assez grand et si $g$ et $h$ tendent toutes deux vers $L$ quand $x \to \infty$, alors $f(x) \to L$ également. Par exemple, $\frac{\cos x}{x} \to 0$.

### Pourquoi l'appelle-t-on le théorème des gendarmes ?

La fonction étudiée est encadrée par deux autres, comme un suspect escorté par deux gendarmes. Si les deux gendarmes vont au même endroit, le suspect n'a pas d'autre choix que de les suivre. En anglais, on parle de théorème du sandwich : la garniture est prise entre deux tranches de pain.