# Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : énoncé et exemples

> Le théorème des valeurs intermédiaires : une fonction continue sur [a, b] prend toute valeur entre f(a) et f(b). Énoncé, graphique, contre-exemples.

Source : https://practicecalculus.com/fr/theoremes/theoreme-des-valeurs-intermediaires
Mis à jour : 2026-11-03

$$ f(c) = N \text{ pour un } c \in (a, b) $$

## En bref

- **Hypothèses:** $f$ est continue sur l'intervalle fermé $[a, b]$, et $N$ est strictement compris entre $f(a)$ et $f(b)$
- **Conclusion:** Il existe au moins un $c$ dans $(a, b)$ tel que $f(c) = N$
- **Type:** Théorème d'existence : il affirme que $c$ existe, sans dire où
- **Idéal pour:** Montrer qu'une équation admet une solution, localiser des racines
- **Version pour les racines:** Si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires, $f$ s'annule dans $(a, b)$
- **Cours:** Analyse 1

## À retenir

- Une fonction continue sur $[a, b]$ prend au moins une fois chaque valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$.
- Si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires, l'équation $f(x) = 0$ admet une solution dans $(a, b)$.
- La continuité sur tout l'intervalle fermé est indispensable. Un seul saut ou une seule asymptote suffit à mettre le théorème en défaut.
- Le théorème prouve qu'une solution existe. Il ne dit ni combien il y en a, ni où elles se trouvent.

Le **théorème des valeurs intermédiaires** (TVI) affirme qu'une fonction continue ne peut pas sauter de valeurs. Si elle part d'une hauteur et arrive à une autre, elle doit passer par toutes les hauteurs intermédiaires. C'est la méthode classique pour prouver qu'une équation admet une solution sans la résoudre.

## Énoncé du théorème des valeurs intermédiaires

On suppose que

1. $f$ est **continue sur l'intervalle fermé** $[a, b]$, et
2. $N$ est un nombre **strictement compris** entre $f(a)$ et $f(b)$.

Alors il existe au moins un nombre $c$ dans l'intervalle ouvert $(a, b)$ tel que

$$f(c) = N$$

Le cas particulier le plus courant concerne les racines : si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires, alors $f(c) = 0$ pour un certain $c$ dans $(a, b)$. Cette version est parfois appelée théorème de Bolzano.

## Ce que signifie le TVI

Tracez une courbe continue du point $(a, f(a))$ au point $(b, f(b))$ sans lever le crayon. Toute droite horizontale $y = N$ située entre les deux hauteurs est forcément traversée. Le TVI est la version rigoureuse de ce dessin.

```graph
title: 'Théorème des valeurs intermédiaires : y = x³ − x − 1 s''annule entre x = 1 et x = 2'
caption: 'Comme $f(1) = -1 < 0$, $f(2) = 5 > 0$ et $f$ est continue, la courbe doit couper $y = 0$ quelque part dans $(1, 2)$. Le point d''intersection est proche de $x \approx 1.32$.'
x: [0, 2.4]
y: [-2.5, 6]
functions:
  - expr: x^3 - x - 1
    label: y = x³ − x − 1
points:
  - [1, -1, 'f(1) = −1']
  - [2, 5, 'f(2) = 5']
  - [1.3247, 0, 'c ≈ 1,32']
vertical:
  - {x: 1, label: 'a = 1'}
  - {x: 2, label: 'b = 2'}
```

Remarquez ce que le théorème ne dit pas. Il ne dit pas où se trouve $c$, ni que $c$ est unique. C'est un **théorème d'existence**.

## Pourquoi la continuité compte : contre-exemples

**Une asymptote verticale.** Soit $f(x) = \frac{1}{x}$ sur $[-1, 1]$. Alors $f(-1) = -1$ et $f(1) = 1$, donc $0$ est compris entre les deux, et pourtant $\frac{1}{x}$ ne vaut jamais $0$. Le TVI ne s'applique pas car $f$ n'est même pas définie en $x = 0$, a fortiori pas continue.

**Un saut.** Soit $f(x) = 0$ pour $x < 1$ et $f(x) = 2$ pour $x \ge 1$, sur $[0, 2]$. La fonction passe de $0$ à $2$ sans jamais valoir $1$. Le saut en $x = 1$ rompt la continuité.

**La continuité sur une partie de l'intervalle ne suffit pas.** L'hypothèse porte sur la continuité sur tout $[a, b]$, bornes comprises. Vérifier quelques points ne prouve rien. Consultez le guide sur la [continuité](/blog/continuity) pour savoir comment la vérifier.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : montrer que $x^3 - x - 1 = 0$ admet une solution entre $1$ et $2$.**

**Étape 1.** $f(x) = x^3 - x - 1$ est un polynôme, donc elle est continue sur $[1, 2]$.

**Étape 2.** $f(1) = 1 - 1 - 1 = -1$ et $f(2) = 8 - 2 - 1 = 5$.

**Étape 3.** Comme $-1 < 0 < 5$, le TVI fournit un $c$ dans $(1, 2)$ tel que $f(c) = 0$.

**Étape 4 (resserrer l'encadrement).** $f(1.5) = 3.375 - 1.5 - 1 = 0.875 > 0$, donc le changement de signe, et donc une racine, se trouve dans $(1, 1.5)$. Répéter ce découpage en deux, c'est la **méthode de dichotomie**, qui localise la racine en $c \approx 1.3247$.

**Exemple 2 : montrer que $\cos x = x$ admet une solution.**

On passe tout du même côté : $g(x) = \cos x - x$, qui est continue partout. Alors

$$g(0) = 1 > 0, \qquad g\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = 0 - \tfrac{\pi}{2} < 0$$

D'après le TVI, $g(c) = 0$ pour un certain $c$ dans $(0, \frac{\pi}{2})$, donc $\cos c = c$. Impossible de résoudre cette équation par le calcul algébrique, mais le TVI prouve que la solution existe.

**Exemple 3 : atteindre une valeur autre que zéro.** Montrer que $f(x) = x^2 + x$ prend la valeur $4$ sur $[1, 2]$. $f$ est continue, $f(1) = 2$ et $f(2) = 6$. Comme $2 < 4 < 6$, il existe un $c$ dans $(1, 2)$ tel que $c^2 + c = 4$. (La résolution donne $c = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} \approx 1.56$, qui est bien dans l'intervalle.)

## Comment rédiger un raisonnement avec le TVI

Une réponse complète à un examen mentionne les trois éléments :

1. **Continuité :** justifiez pourquoi $f$ est continue sur $[a, b]$ (polynôme, somme de fonctions continues, etc.).
2. **Valeurs aux bornes :** calculez $f(a)$ et $f(b)$.
3. **Conclusion :** indiquez que $N$ est compris entre les deux, donc que d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe $c$ dans $(a, b)$ tel que $f(c) = N$.

## Erreurs fréquentes

1. **Oublier de vérifier la continuité.** Sans elle, le raisonnement est incomplet, et pour des fonctions comme $\tan x$ ou $\frac{1}{x}$ la conclusion peut être fausse.
2. **Affirmer qu'il y a exactement une solution.** Le TVI en donne au moins une. L'unicité demande un argument supplémentaire, par exemple la stricte croissance de $f$.
3. **Utiliser la réciproque.** Une fonction qui prend toutes les valeurs intermédiaires n'est pas forcément continue. Le TVI ne fonctionne que dans un sens.

## Théorèmes liés

Le TVI va de pair avec le [théorème des bornes atteintes](/theorems/extreme-value-theorem) : tous deux reposent sur la continuité sur un intervalle fermé. Pour prouver qu'une racine est unique, associez le TVI au [théorème de Rolle](/theorems/rolles-theorem). Pour les techniques de calcul de limites qui sous-tendent la continuité, consultez [comment calculer des limites](/blog/how-to-evaluate-limits) et le [théorème des gendarmes](/theorems/squeeze-theorem).

## Questions fréquentes

### Que dit le théorème des valeurs intermédiaires ?

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $N$ est un nombre quelconque compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors $f(c) = N$ pour au moins un $c$ entre $a$ et $b$. Une courbe continue ne peut pas passer d'une hauteur à une autre sans passer par toutes les hauteurs intermédiaires.

### Comment utiliser le TVI pour montrer qu'une racine existe ?

Vérifiez que $f$ est continue sur $[a, b]$, calculez $f(a)$ et $f(b)$, et constatez qu'ils sont de signes contraires. Alors $0$ est compris entre eux, et le TVI garantit l'existence d'un $c$ dans $(a, b)$ tel que $f(c) = 0$.

### Le théorème des valeurs intermédiaires donne-t-il le nombre de racines ?

Non. Il en garantit au moins une. Il pourrait y en avoir trois, ou cent. Pour montrer qu'il y en a exactement une, on combine le TVI avec un fait comme la stricte croissance de $f$, souvent démontrée grâce au [théorème de Rolle](/theorems/rolles-theorem).

### Que se passe-t-il si la fonction n'est pas continue ?

La conclusion peut être fausse. Par exemple, $f(x) = \frac{1}{x}$ vérifie $f(-1) = -1$ et $f(1) = 1$, mais ne vaut jamais $0$, car elle n'est pas continue en $x = 0$.