# Théorème fondamental de l'analyse (partie 1) : dériver une intégrale

> Théorème fondamental, partie 1 : si f est continue, la dérivée de l'intégrale de a à x de f(t) dt est f(x). Énoncé, graphique, composition et exemples corrigés.

Source : https://practicecalculus.com/fr/theoremes/theoreme-fondamental-analyse-partie-1
Mis à jour : 2026-11-03

$$ \frac{d}{dx} \int_a^x f(t)\,dt = f(x) $$

## En bref

- **Hypothèses:** $f$ est continue sur $[a, b]$, et $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ pour $x$ dans $[a, b]$
- **Conclusion:** $F$ est continue sur $[a, b]$, dérivable sur $(a, b)$, et $F'(x) = f(x)$
- **En mots:** La vitesse à laquelle l'aire accumulée augmente est égale à la hauteur de la courbe
- **Avec une composée:** $\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))\,g'(x)$
- **Conséquence majeure:** Toute fonction continue admet une primitive
- **Cours:** Analyse 1

## À retenir

- Dériver une intégrale dont la borne supérieure est variable redonne l'intégrande évaluée en cette borne.
- Quand la borne supérieure est une fonction $g(x)$, on multiplie par $g'(x)$ : c'est la règle de dérivation en chaîne.
- La borne inférieure $a$ n'influe pas sur la dérivée, tant qu'elle est constante.
- La partie 1 du théorème montre que dérivation et intégration sont des opérations réciproques.

La **première partie du théorème fondamental de l'analyse** affirme que si l'on construit une fonction en accumulant l'aire sous une courbe continue, la dérivée de cette fonction est la courbe elle-même. C'est la première moitié du lien entre dérivées et intégrales.

## Énoncé de la partie 1 du théorème fondamental

Soit $f$ une fonction **continue** sur $[a, b]$. On définit la **fonction d'accumulation**

$$F(x) = \int_a^x f(t)\,dt, \qquad a \le x \le b$$

Alors $F$ est continue sur $[a, b]$, dérivable sur $(a, b)$, et

$$F'(x) = f(x)$$

En notation de Leibniz, $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$. La variable $t$ est une variable d'intégration muette, et $x$ est la borne supérieure.

## Ce que signifie la partie 1

$F(x)$ est l'aire algébrique sous $y = f(t)$ entre $a$ et $x$. Décalez $x$ un peu vers la droite, de $h$ : l'aire ajoutée est une fine bande de largeur $h$ et de hauteur environ $f(x)$. Donc

$$\frac{F(x + h) - F(x)}{h} \approx \frac{f(x)\,h}{h} = f(x)$$

et l'approximation devient exacte quand $h \to 0$. La vitesse à laquelle l'aire s'accumule est égale à la hauteur de la courbe.

```graph
title: 'Théorème fondamental, partie 1 : l''aire sous y = x² de 0 à x croît comme F(x) = x³/3'
caption: 'L''aire hachurée jusqu''à $x = 1.5$ vaut $F(1.5) = \frac{1.5^3}{3} = 1.125$. La courbe en pointillés $F(x) = \frac{x^3}{3}$ suit cette aire, et sa pente en chaque $x$ est égale à la hauteur $x^2$.'
x: [0, 2.2]
y: [0, 4.5]
functions:
  - expr: x^2
    label: y = f(x) = x²
  - expr: x^3/3
    label: F(x) = x³/3 (aire accumulée)
    dashed: true
shade: {expr: x^2, from: 0, to: 1.5}
points:
  - [1.5, 1.125, 'F(1.5) = 1.125']
```

## Pourquoi la continuité compte

Posons $f(t) = 0$ pour $t < 0$ et $f(t) = 1$ pour $t \ge 0$, et soit $F(x) = \int_{-1}^x f(t)\,dt$. L'aire accumulée vaut

$$F(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ x & x \ge 0 \end{cases}$$

ce qui présente un point anguleux en $x = 0$. Donc $F'(0)$ n'existe pas, et ne peut certainement pas valoir $f(0) = 1$. L'intégrale a toujours un sens, mais au niveau du saut, la conclusion $F' = f$ tombe en défaut. Loin du saut, là où $f$ est continue, on a toujours $F' = f$.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : la forme de base.**

$$\frac{d}{dx}\int_1^x \sqrt{1 + t^3}\,dt = \sqrt{1 + x^3}$$

Aucune intégration n'est nécessaire, et aucune n'est d'ailleurs possible avec des fonctions usuelles. On remplace $t$ par $x$, et c'est terminé.

**Exemple 2 : la borne supérieure est une fonction de $x$ (règle de dérivation en chaîne).** Calculer $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt$.

**Étape 1.** Posons $u = x^2$. L'intégrale s'écrit alors $G(u) = \int_0^u \cos t\,dt$, et d'après la partie 1 du théorème, $G'(u) = \cos u$.

**Étape 2.** D'après la [règle de dérivation en chaîne](/blog/chain-rule), $\frac{d}{dx}G(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x$.

$$\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt = 2x\cos(x^2)$$

Vérification : l'intégrale vaut $\sin(x^2)$, dont la dérivée est $2x\cos(x^2)$.

**Exemple 3 : les deux bornes dépendent de $x$.** Calculer $\frac{d}{dx}\int_x^{2x} e^{t^2}\,dt$.

**Étape 1.** On coupe en une constante : $\int_x^{2x} = \int_0^{2x} - \int_0^{x}$.

**Étape 2.** On dérive chaque morceau à l'aide de la partie 1 et de la règle de dérivation en chaîne :

$$\frac{d}{dx}\int_x^{2x} e^{t^2}\,dt = e^{(2x)^2}\cdot 2 - e^{x^2}\cdot 1 = 2e^{4x^2} - e^{x^2}$$

**Exemple 4 : une borne inférieure contenant $x$.** On commence par échanger les bornes : $\frac{d}{dx}\int_x^5 \sin(t^2)\,dt = \frac{d}{dx}\left(-\int_5^x \sin(t^2)\,dt\right) = -\sin(x^2)$.

## Erreurs fréquentes

1. **Oublier le facteur de la dérivation en chaîne.** $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt$ vaut $2x\cos(x^2)$, et non $\cos(x^2)$.
2. **Remplacer aussi par la borne inférieure.** Pour $\int_a^x f(t)\,dt$ avec $a$ constant, la réponse est simplement $f(x)$. La borne inférieure constante ne fait que décaler $F$ d'une constante.
3. **Oublier le signe quand $x$ est dans la borne inférieure.** Échanger les bornes fait apparaître un signe moins.
4. **Vouloir intégrer d'abord alors que c'est impossible.** Des intégrandes comme $e^{t^2}$ n'ont pas de primitive exprimable avec les fonctions usuelles, mais la partie 1 du théorème permet quand même de dériver l'intégrale immédiatement.

## Pourquoi la partie 1 est importante

La partie 1 démontre que toute fonction continue admet une primitive, à savoir $\int_a^x f(t)\,dt$. C'est ce résultat qui fait fonctionner la [partie 2 du théorème fondamental](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2), qui transforme le calcul des intégrales définies en une simple soustraction. Elle permet aussi de définir des fonctions importantes comme $\ln x = \int_1^x \frac{1}{t}\,dt$. Pour l'histoire complète des deux parties, lisez le [guide du théorème fondamental de l'analyse](/blog/fundamental-theorem-of-calculus), et consultez les [sommes de Riemann](/blog/riemann-sums) pour la définition de l'intégrale sur laquelle il repose.

## Questions fréquentes

### Que dit la première partie du théorème fondamental de l'analyse ?

Si $f$ est continue et $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$, alors $F'(x) = f(x)$. La dérivée de la fonction aire accumulée est la fonction de départ.

### Comment dériver une intégrale dont la borne supérieure contient x ?

On remplace $t$ dans l'intégrande par la borne supérieure. Si cette borne est $g(x)$ au lieu de $x$, on multiplie aussi par $g'(x)$. Par exemple, $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt = 2x\cos(x^2)$.

### Et si les deux bornes d'intégration contiennent x ?

On coupe l'intégrale en une constante, ou on utilise la formule $\frac{d}{dx}\int_{h(x)}^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))\,g'(x) - f(h(x))\,h'(x)$.

### Quelle est la différence entre les parties 1 et 2 du théorème fondamental ?

La partie 1 dérive une intégrale : $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$. La partie 2 calcule une intégrale définie à l'aide d'une primitive : $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.