# AP Calculus Unidade 3: regra da cadeia e derivação implícita

> Revisão da Unidade 3 de AP Calculus AB e BC: regra da cadeia, derivação implícita, derivadas de inversas e de trigonométricas inversas e derivadas segundas.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/ap-calculus/unidade-3-funcoes-compostas-implicitas-e-inversas
Atualizado: 2026-11-06

## Visão geral

- **Peso na prova AB:** 5–10%
- **Peso na prova BC:** 5–10%
- **Ideias centrais:** Regra da cadeia, derivação implícita, funções inversas, derivadas segundas
- **Só no BC:** Nada, AB e BC cobrem os mesmos tópicos da Unidade 3
- **Vem antes de:** Unidade 4, derivadas em contexto, e Unidade 5, análise de funções
- **Pratique aqui:** [Cálculo 1: Regras de derivação](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-general)

## Pontos principais

- A Unidade 3 vale de 5 a 10 por cento das provas AB e BC, mas a regra da cadeia que ela ensina é usada em quase todas as unidades seguintes.
- A regra da cadeia: $\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x)$. Derive a função de fora, mantenha a de dentro e multiplique pela derivada da de dentro.
- Se $g$ é a inversa de $f$ e $f(a) = b$, então $g'(b) = \frac{1}{f'(a)}$.
- A derivação implícita trata $y$ como função de $x$, então todo termo em $y$ ganha um fator $\frac{dy}{dx}$.

**AP Calculus Unidade 3, Derivação de funções compostas, implícitas e inversas (Differentiation: Composite, Implicit, and Inverse Functions)**, completa o kit de regras de derivação. A regra da cadeia permite derivar uma função dentro de outra. A derivação implícita trata curvas que não estão escritas como $y = f(x)$. As funções inversas ganham sua própria fórmula de derivada. É uma unidade curta, mas você vai usá-la todos os dias até o fim do curso.

| | AP Calculus AB | AP Calculus BC |
| --- | --- | --- |
| Peso na prova | 5–10% | 5–10% |
| Tópicos extras | nenhum | nenhum |

## O que a Unidade 3 cobre

O College Board divide a unidade nos tópicos abaixo. Cada linha leva a uma lição em que você pratica com números novos a cada vez.

| Tópico | O que você aprende | Prática |
| --- | --- | --- |
| A regra da cadeia | Derivar $f(g(x))$ | [Regra da cadeia: caso geral](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-general) |
| Regra da cadeia com potências e trigonometria | $(3x + 1)^5$, $\sin(x^2)$, $\cos^3 x$ | [Regra da cadeia: potências](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-powers) |
| Regra da cadeia com exponenciais | $e^{x^2}$, $\ln(\sin x)$ | [Regra da cadeia: exponenciais](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-exponentials) |
| Derivação implícita | Encontrar $\frac{dy}{dx}$ para $x^2 + y^2 = 25$ | [Derivação implícita](/learn/calculus-1/derivative-rules/implicit-differentiation) |
| Derivada de funções inversas | $g'(b) = \frac{1}{f'(a)}$ quando $f(a) = b$ | [Derivadas de funções inversas](/learn/calculus-1/derivative-rules/inverse-function-derivatives) |
| Funções trigonométricas inversas | Derivadas de $\arcsin x$, $\arctan x$ e das demais | [Derivadas de trigonométricas inversas](/learn/calculus-1/derivative-rules/inverse-trig-derivatives) |
| Escolha do procedimento | Escolher a regra certa para uma expressão mista | [Prática de regras de derivação](/learn/calculus-1/derivative-rules/derivative-rules-practice) |
| Derivadas de ordem superior | $f''(x)$, incluindo derivadas segundas implícitas | [Prática de regras de derivação](/learn/calculus-1/derivative-rules/derivative-rules-practice) |

## As ideias principais

**A regra da cadeia funciona de fora para dentro.** Para $y = f(g(x))$:

$$\frac{dy}{dx} = f'(g(x))\cdot g'(x)$$

Derive a função de fora sem mexer na de dentro e depois multiplique pela derivada da de dentro. Leia a página completa da [regra da cadeia](/rules/chain-rule) para ver uma demonstração e mais variações.

**A derivação implícita encontra inclinações em curvas.** Derive os dois lados em relação a $x$. Toda vez que derivar um termo em $y$, multiplique por $\frac{dy}{dx}$. Depois isole $\frac{dy}{dx}$.

```graph
title: 'Reta tangente a x² + y² = 25 em (3, 4)'
caption: 'A derivação implícita dá $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$, então a inclinação em $(3, 4)$ é $-\frac{3}{4}$.'
x: [-6, 8]
y: [-6, 8]
functions:
  - expr: sqrt(25 - x^2)
    label: metade superior de x² + y² = 25
    domain: [-5, 5]
  - expr: -sqrt(25 - x^2)
    label: metade inferior
    domain: [-5, 5]
  - expr: -0.75x + 6.25
    label: tangente y = −(3/4)x + 25/4
    dashed: true
points:
  - [3, 4, '(3, 4)']
```

**Funções inversas invertem a inclinação.** Se $f$ e $g$ são inversas, seus gráficos são simétricos em relação a $y = x$, então as inclinações em pontos correspondentes são inversas uma da outra. Veja a [regra da função inversa](/rules/inverse-function-rule).

**Depois vêm as derivadas segundas.** A derivada segunda $f''(x)$ é a taxa de variação de $f'(x)$. Na Unidade 4 ela vira aceleração e na Unidade 5 ela informa a concavidade.

## Questões de exemplo

**1. Regra da cadeia.** $\frac{d}{dx}\sin(x^3) = \cos(x^3)\cdot 3x^2 = 3x^2\cos(x^3)$.

**2. Derivação implícita.** Para $x^2 + y^2 = 25$, derive os dois lados:

$$2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

Em $(3, 4)$ a inclinação é $-\frac{3}{4}$.

**3. Uma derivada segunda implícita.** Derive $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ com a regra do quociente e substitua:

$$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{y - x\frac{dy}{dx}}{y^2} = -\frac{y + \frac{x^2}{y}}{y^2} = -\frac{x^2 + y^2}{y^3} = -\frac{25}{y^3}$$

**4. Função inversa a partir de uma tabela.** Seja $f(x) = x^3 + x$ e seja $g$ sua inversa. Como $f(1) = 2$ e $f'(x) = 3x^2 + 1$:

$$g'(2) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{4}$$

**5. Trigonométrica inversa com regra da cadeia.** $\frac{d}{dx}\arctan(2x) = \frac{1}{1 + (2x)^2}\cdot 2 = \frac{2}{1 + 4x^2}$.

## Como estudar a Unidade 3

- **Diga em voz alta qual é a função de dentro.** Antes de derivar, identifique a função interna. A maioria dos erros com a regra da cadeia vem de esquecer de multiplicar pela derivada dela.
- **Simplifique derivadas segundas implícitas.** Depois de derivar duas vezes, substitua $\frac{dy}{dx}$ de volta e use a equação original para simplificar, como na questão de exemplo 3.
- **Pratique inversas a partir de tabelas.** Primeiro encontre a linha em que $f(a) = b$. É comum substituir $b$ em $f'$ por engano.
- **Misture as regras.** As questões reais da prova combinam a regra da cadeia com a do produto ou a do quociente. Faça listas mistas, não uma regra de cada vez.
- **Resolva listas de exercícios.** Tente os [exercícios de regra da cadeia](/practice-problems/chain-rule), os [exercícios de derivação implícita](/practice-problems/implicit-differentiation) e os [exercícios de derivadas de trigonométricas inversas](/practice-problems/inverse-trig-derivatives), todos com resolução completa.

Para o mapa completo do curso, veja o [guia de AP Calculus AB](/ap-calculus/ab) ou o [guia de AP Calculus BC](/ap-calculus/bc).

> AP e Advanced Placement são marcas registradas do College Board, que não tem vínculo com a PracticeCalculus e não endossa este guia. Os nomes e pesos das unidades vêm do referencial do curso (course framework) do College Board; confira lá se houver mudanças.

## Perguntas frequentes

### Sobre o que é a Unidade 3 de AP Calculus?

A Unidade 3 estende as regras de derivação a funções compostas com a regra da cadeia, a curvas como circunferências com a derivação implícita, a funções inversas e trigonométricas inversas e a derivadas segundas e de ordem superior.

### Quanto a Unidade 3 vale na prova de AP?

A Unidade 3 vale de 5 a 10 por cento da nota de múltipla escolha tanto em AP Calculus AB quanto em BC. A regra da cadeia aparece em taxas relacionadas, integração por substituição, equações diferenciais e séries, então conta muito mais do que o peso oficial.

### Como encontrar a derivada de uma função inversa na prova de AP?

Normalmente você não tem uma fórmula para a inversa. Encontre a entrada $a$ com $f(a) = b$ e depois use $g'(b) = \frac{1}{f'(a)}$. Tabelas com valores de $f$ e $f'$ são o formato preferido para essa questão.

### Quais derivadas de trigonométricas inversas eu preciso saber?

Decore $\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ e $\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1 + x^2}$. O programa também inclui $\arccos$, $\operatorname{arccot}$, $\operatorname{arcsec}$ e $\operatorname{arccsc}$, mas arco seno e arco tangente são as que mais aparecem.