# AP Calculus Unidade 5: revisão de análise de funções (AB e BC)

> Revisão da Unidade 5 de AP Calculus AB e BC: Teorema do Valor Médio, extremos, crescimento e decrescimento, concavidade, esboço de gráficos e otimização.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/ap-calculus/unidade-5-aplicacoes-analiticas-da-derivada
Atualizado: 2026-11-06

## Visão geral

- **Peso na prova AB:** 15–20%
- **Peso na prova BC:** 10–15%
- **Ideias centrais:** Teorema do Valor Médio, extremos, testes da primeira e da segunda derivada, otimização
- **Só no BC:** Nada, AB e BC cobrem os mesmos tópicos da Unidade 5
- **Vem antes de:** Unidade 6, integração e acumulação de variação
- **Pratique aqui:** [Cálculo 1: Aplicações da derivada](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/critical-points)

## Pontos principais

- A Unidade 5 vale de 15 a 20 por cento da prova AB, empatada como a maior fatia, e de 10 a 15 por cento da prova BC.
- O Teorema do Valor Médio: se $f$ é contínua em $[a, b]$ e diferenciável em $(a, b)$, algum $c$ satisfaz $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.
- $f$ tem um máximo relativo onde $f'$ passa de positiva para negativa, e um mínimo relativo onde $f'$ passa de negativa para positiva.
- Para achar um extremo absoluto em um intervalo fechado, compare $f$ em todos os pontos críticos e nos dois extremos do intervalo.

**AP Calculus Unidade 5, Aplicações analíticas da derivada (Analytical Applications of Differentiation)**, ensina a ler uma função por meio das suas derivadas. A primeira derivada diz onde a função sobe e desce. A segunda derivada diz como ela se curva. Juntas, elas encontram máximos e mínimos, que é a essência da otimização. É uma das maiores unidades da prova AB.

| | AP Calculus AB | AP Calculus BC |
| --- | --- | --- |
| Peso na prova | 15–20% | 10–15% |
| Tópicos extras | nenhum | nenhum |

## O que a Unidade 5 cobre

O College Board divide a unidade nos tópicos abaixo. Cada linha leva a uma lição em que você pratica com números novos a cada vez.

| Tópico | O que você aprende | Prática |
| --- | --- | --- |
| Teorema do Valor Médio | A taxa média é igual à taxa instantânea em algum ponto | [Aproximação linear e TVM](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/linear-approximation-and-mvt) |
| Teorema do Valor Extremo e pontos críticos | Quando os extremos precisam existir e onde procurá-los | [Pontos críticos](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/critical-points) |
| Crescimento e decrescimento | Usar o sinal de $f'$ | [Crescimento e decrescimento](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/increasing-and-decreasing) |
| Teste da primeira derivada | Extremos relativos pelas mudanças de sinal de $f'$ | [Crescimento e decrescimento](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/increasing-and-decreasing) |
| Teste dos candidatos | Extremos absolutos em um intervalo fechado | [Extremos absolutos](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/absolute-extrema) |
| Concavidade | Usar o sinal de $f''$, e pontos de inflexão | [Segunda derivada](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/second-derivative) |
| Teste da segunda derivada | Classificar um ponto crítico com $f''$ | [Segunda derivada](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/second-derivative) |
| Esboço de $f$, $f'$ e $f''$ | Passar de um gráfico para outro entre os três | [Prática de aplicações](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/applications-practice) |
| Otimização | Montar e maximizar uma função a partir de um enunciado | [Otimização](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/optimization) |
| Relações implícitas | Tangentes horizontais e verticais em curvas como circunferências | [Derivação implícita](/learn/calculus-1/derivative-rules/implicit-differentiation) |

## As ideias principais

**O Teorema do Valor Médio garante uma inclinação igual.** Se $f$ é contínua em $[a, b]$ e diferenciável em $(a, b)$, pelo menos um ponto tem reta tangente paralela à reta secante. Leia as páginas do [Teorema do Valor Médio](/theorems/mean-value-theorem) e do [Teorema do Valor Extremo](/theorems/extreme-value-theorem) para ver as condições exatas.

**$f'$ controla o sentido, $f''$ controla a forma.** $f' > 0$ significa crescente e $f' < 0$ significa decrescente. $f'' > 0$ significa concavidade para cima e $f'' < 0$ significa concavidade para baixo. Um ponto de inflexão é onde $f''$ muda de sinal.

```graph
title: 'f(x) = x³ − 3x² − 9x + 2'
caption: 'Os pontos críticos são $x = -1$ (máximo relativo) e $x = 3$ (mínimo relativo). A concavidade muda em $x = 1$.'
x: [-3, 5]
y: [-30, 15]
functions:
  - expr: x^3 - 3x^2 - 9x + 2
    label: f(x) = x³ − 3x² − 9x + 2
points:
  - [-1, 7, 'máximo relativo (−1, 7)']
  - [3, -25, 'mínimo relativo (3, −25)']
  - [1, -9, 'inflexão (1, −9)']
```

**Otimização é encontrar extremos com uma história.** Escreva a grandeza a maximizar ou minimizar como função de uma variável, encontre seus pontos críticos e justifique que a resposta é um máximo ou um mínimo, usando o teste da primeira derivada, o teste da segunda derivada ou o teste dos candidatos.

## Questões de exemplo

**1. Teorema do Valor Médio.** Para $f(x) = x^2$ em $[1, 3]$, a taxa média de variação é $\frac{9 - 1}{3 - 1} = 4$. Fazendo $f'(c) = 2c = 4$ obtemos $c = 2$, que está dentro do intervalo.

**2. Extremos relativos.** Para $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2$:

$$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3)$$

$f'$ passa de positiva para negativa em $x = -1$, então $f(-1) = 7$ é um máximo relativo. Ela passa de negativa para positiva em $x = 3$, então $f(3) = -25$ é um mínimo relativo. Como $f''(x) = 6x - 6$ muda de sinal em $x = 1$, há um ponto de inflexão em $(1, -9)$.

**3. Teste dos candidatos.** Em $[-2, 4]$, verifique as extremidades e os pontos críticos: $f(-2) = 0$, $f(-1) = 7$, $f(3) = -25$ e $f(4) = -18$. O máximo absoluto é 7 em $x = -1$ e o mínimo absoluto é $-25$ em $x = 3$.

**4. Otimização.** Um fazendeiro tem 100 m de cerca para cercar um retângulo junto a um rio, cercando só três lados. Com largura $x$, a área é $A(x) = x(100 - 2x)$. Então $A'(x) = 100 - 4x = 0$ em $x = 25$, e $A''(x) = -4 < 0$, então é um máximo. A melhor área é $25 \times 50 = 1250$ m².

## Como estudar a Unidade 5

- **Pratique com o gráfico de $f'$.** Muitas questões dissertativas dão apenas $f'$. Leia o crescimento onde $f'$ está acima do eixo, e a concavidade para cima onde $f'$ está subindo.
- **Justifique com mudanças de sinal.** Escreva "porque $f'$ passa de negativa para positiva em $x = 3$". Os corretores querem o motivo, não só a resposta.
- **Nunca pule as extremidades.** Em um intervalo fechado, o máximo absoluto muitas vezes está numa extremidade.
- **Confira primeiro as condições do TVM.** Afirme a continuidade e a diferenciabilidade antes de concluir qualquer coisa.
- **Resolva listas de exercícios.** Tente os [exercícios de otimização](/practice-problems/optimization), os [exercícios de esboço de gráficos](/practice-problems/curve-sketching) e os [exercícios do Teorema do Valor Médio](/practice-problems/mean-value-theorem), todos com resolução completa. O guia de [esboço de gráficos com derivadas](/blog/curve-sketching-with-derivatives) reúne a unidade inteira.

Para o mapa completo do curso, veja o [guia de AP Calculus AB](/ap-calculus/ab) ou o [guia de AP Calculus BC](/ap-calculus/bc).

> AP e Advanced Placement são marcas registradas do College Board, que não tem vínculo com a PracticeCalculus e não endossa este guia. Os nomes e pesos das unidades vêm do referencial do curso (course framework) do College Board; confira lá se houver mudanças.

## Perguntas frequentes

### Sobre o que é a Unidade 5 de AP Calculus?

A Unidade 5 usa a primeira e a segunda derivadas para analisar uma função. Você aplica o Teorema do Valor Médio e o Teorema do Valor Extremo, encontra onde uma função cresce, decresce e muda de concavidade, localiza extremos relativos e absolutos, esboça gráficos e resolve problemas de otimização.

### Quanto a Unidade 5 vale na prova de AP?

A Unidade 5 vale de 15 a 20 por cento da nota de múltipla escolha em AP Calculus AB e de 10 a 15 por cento em AP Calculus BC. Quase toda prova também tem uma questão dissertativa que dá o gráfico de $f'$ e pede que você analise $f$.

### O que é o teste dos candidatos?

O teste dos candidatos, também chamado de método do intervalo fechado, encontra extremos absolutos em $[a, b]$. Liste os pontos críticos dentro do intervalo e as duas extremidades, calcule $f$ em cada um e escolha o maior e o menor valor.

### Como justificar um máximo relativo na prova de AP?

Diga o que $f'$ faz e onde. Por exemplo: "$f$ tem um máximo relativo em $x = -1$ porque $f'$ passa de positiva para negativa ali." Dizer apenas "$f'(-1) = 0$" não garante o ponto.