# AP Calculus Unidade 6: revisão de integração e acumulação (AB e BC)

> Revisão da Unidade 6 de AP Calculus AB e BC: somas de Riemann, Teorema Fundamental, funções acumulação, substituição e técnicas do BC, com prática.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/ap-calculus/unidade-6-integracao-e-acumulacao
Atualizado: 2026-11-06

## Visão geral

- **Peso na prova AB:** 15–20%
- **Peso na prova BC:** 15–20%
- **Ideias centrais:** Somas de Riemann, integrais definidas, o Teorema Fundamental, antiderivadas
- **Só no BC:** Integração por partes, frações parciais com fatores lineares, integrais impróprias
- **Vem antes de:** Unidade 7, equações diferenciais, e Unidade 8, aplicações da integral
- **Pratique aqui:** [Cálculo 1: Integrais](/learn/calculus-1/integrals/riemann-sums)

## Pontos principais

- A Unidade 6 vale de 15 a 20 por cento das provas AB e BC, empatada com a maior fatia entre todas as unidades.
- A integral definida de uma taxa dá a variação total da quantidade: $\int_a^b r(t)\,dt = A(b) - A(a)$.
- O Teorema Fundamental liga as duas metades do cálculo: $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$.
- Os alunos do BC também precisam de integração por partes, frações parciais com fatores lineares e integrais impróprias.

**A Unidade 6 de AP Calculus, Integração e acumulação de variação (Integration and Accumulation of Change)**, é onde começa a segunda metade do cálculo. Ela transforma taxas em quantidades: se você sabe com que rapidez algo está variando, uma integral diz quanto variou no total. É uma das duas maiores unidades da prova e a que mais alimenta as questões dissertativas.

| | AP Calculus AB | AP Calculus BC |
| --- | --- | --- |
| Peso na prova | 15–20% | 15–20% |
| Tópicos extras | nenhum | integração por partes, frações parciais, integrais impróprias |

## O que a Unidade 6 cobre

O College Board divide a unidade nestes tópicos. Cada linha leva a uma lição em que você pratica com números novos a cada vez.

| Tópico | O que você aprende | Prática |
| --- | --- | --- |
| Acumulação de variação | A área sob o gráfico de uma taxa é a variação da quantidade | [Área com sinal](/learn/calculus-1/integrals/signed-area) |
| Somas de Riemann | Somas pela esquerda, pela direita e pelo ponto médio, a partir de fórmulas e tabelas | [Somas de Riemann](/learn/calculus-1/integrals/riemann-sums) |
| Somas dos trapézios | A média das somas pela esquerda e pela direita | [Somas dos trapézios](/learn/calculus-1/integrals/trapezoid-sums) |
| Integrais definidas | O limite das somas de Riemann e as propriedades das integrais | [Área com sinal](/learn/calculus-1/integrals/signed-area) |
| Teorema Fundamental, parte 1 | Derivadas de funções acumulação | [Funções acumulação](/learn/calculus-1/integrals/accumulation-functions) |
| Teorema Fundamental, parte 2 | Calcular $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ | [O Teorema Fundamental](/learn/calculus-1/integrals/fundamental-theorem-part-2) |
| Antiderivadas | Regra da potência inversa, integrais trigonométricas e exponenciais | [Regra da potência inversa](/learn/calculus-1/integrals/reverse-power-rule) |
| Substituição | Mudança de variável em integrais indefinidas e definidas | [Substituição](/learn/calculus-1/integrals/u-substitution) |
| Integração por partes (BC) | $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ | [Integração por partes](/learn/calculus-2/integration-techniques/integration-by-parts) |
| Frações parciais (BC) | Decompor funções racionais com fatores lineares | [Frações parciais](/learn/calculus-2/integration-techniques/partial-fractions) |
| Integrais impróprias (BC) | Integrais até o infinito e sobre assíntotas verticais | [Limites infinitos](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/infinite-limits-of-integration) |

## As ideias principais

**Somas de Riemann estimam área.** Divida $[a, b]$ em partes, multiplique cada largura por uma altura e some. Para uma função crescente, a soma pela esquerda subestima e a soma pela direita superestima. A soma dos trapézios faz a média das duas.

```graph
title: 'Área sob y = x² + 1 de 0 a 2'
caption: 'A região sombreada é $\int_0^2 (x^2 + 1)\,dx = \frac{14}{3}$. Uma soma de Riemann a aproxima com retângulos.'
x: [-0.5, 2.5]
y: [-0.5, 5.5]
functions:
  - expr: x^2 + 1
    label: y = x² + 1
shade: {expr: x^2 + 1, from: 0, to: 2}
```

**A integral definida é a variação total.** Se $r(t)$ é uma taxa, então $\int_a^b r(t)\,dt$ é a variação total de $t = a$ até $t = b$. Essa ideia está por trás de toda questão dissertativa do tipo "taxa de entrada, taxa de saída".

**O Teorema Fundamental liga tudo.** A parte 1 diz que uma função acumulação é uma antiderivada:

$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$$

A parte 2 diz que você pode calcular uma integral definida com qualquer antiderivada $F$:

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$$

Leia mais sobre o [Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-1) e a [parte 2](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2).

## Questões de exemplo

**1. Uma tabela (sem calculadora).** A taxa de vazão de água $r(t)$, em litros por minuto, é medida em $t = 0, 2, 5$ com valores $4, 6, 9$. Uma soma dos trapézios estima a vazão total:

$$\frac{4 + 6}{2}\cdot 2 + \frac{6 + 9}{2}\cdot 3 = 10 + 22.5 = 32.5 \text{ litros}$$

Repare nos intervalos desiguais. As tabelas do AP costumam tê-los, então nunca suponha espaçamento igual.

**2. Uma função acumulação.** Se $g(x) = \int_1^x \sqrt{t^3 + 1}\,dt$, então pelo Teorema Fundamental $g'(2) = \sqrt{8 + 1} = 3$. Você nunca precisa encontrar a antiderivada.

**3. Substituição.** Calcule $\int_0^1 2x(x^2 + 1)^3\,dx$ com $u = x^2 + 1$, então $du = 2x\,dx$ e os limites de integração passam a ser $1$ e $2$:

$$\int_1^2 u^3\,du = \left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2 = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$$

**4. BC: integração por partes.** Com $u = x$ e $dv = \cos x\,dx$:

$$\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C$$

## Como estudar a Unidade 6

- **Aprenda a ler a integral em palavras.** "O número total de litros que entraram nos primeiros 5 minutos" é $\int_0^5 r(t)\,dt$. As questões dissertativas pedem que você explique o significado de uma integral no contexto, com unidades.
- **Pratique tabelas com intervalos desiguais.** Elas são o formato mais comum para somas de Riemann e dos trapézios na prova.
- **Derive funções acumulação com rapidez.** Questões sobre $g(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ voltam no estilo da Unidade 5: onde $g$ cresce, tem extremos ou tem concavidade para cima.
- **Treine as antiderivadas.** Use a [referência de integrais](/integrals) e o [formulário de cálculo](/formulas) até que as básicas fiquem automáticas.
- **Resolva listas de exercícios.** Experimente os [exercícios de somas de Riemann](/practice-problems/riemann-sums) e os [exercícios de integração por substituição](/practice-problems/u-substitution), cada um com resolução completa.

Para o mapa completo do curso, veja o [guia de AP Calculus AB](/ap-calculus/ab) ou o [guia de AP Calculus BC](/ap-calculus/bc).

> AP e Advanced Placement são marcas registradas do College Board, que não tem relação com o PracticeCalculus e não endossa este guia. Os nomes e pesos das unidades vêm do referencial curricular do College Board; consulte-o para ver eventuais mudanças.

## Perguntas frequentes

### Sobre o que é a Unidade 6 de AP Calculus?

A Unidade 6 apresenta a integração. Ela começa estimando a variação acumulada com somas de Riemann, define a integral definida, liga essa integral às antiderivadas pelo Teorema Fundamental do Cálculo e desenvolve as técnicas básicas de integração, incluindo a substituição.

### Quanto da prova de AP vale a Unidade 6?

A Unidade 6 vale de 15 a 20 por cento da nota de múltipla escolha tanto no AP Calculus AB quanto no BC. Suas ideias também aparecem na maioria das questões dissertativas, principalmente nas que têm tabelas, taxas ou gráficos de $f'$.

### Qual é a diferença da Unidade 6 entre AB e BC?

Os dois cursos cobrem somas de Riemann, o Teorema Fundamental, funções acumulação e substituição. O BC acrescenta integração por partes, integração com frações parciais de fatores lineares e integrais impróprias.

### Somas de Riemann caem na prova de AP?

Sim. Você deve saber calcular somas pela esquerda, pela direita, pelo ponto médio e pelos trapézios a partir de uma fórmula ou de uma tabela com intervalos desiguais, e dizer se uma estimativa está acima ou abaixo do valor real.